[Toán 9] Tính giá trị của biểu thức (Nâng cao)

H

huongmot

Vì x.y =1 nên x,y cùng dấu và $x=\dfrac{1}{y}$
Ta có:
$(|x+y|)^2 = x^2+2xy +y^2= x^2+y^2+2$
Áp dụng Cô-si
$x^2+y^2 \ge 2xy = 2$
$\rightarrow x^2+y^2 +2\ge 4$
$\rightarrow (x+y)^2 \ge 4$
$\rightarrow |x+y| \ge 2$
Dấu "=" xảy ra
$\rightarrow x= y$
$\rightarrow \dfrac{1}{y}=y$
$\rightarrow y^2= 1$
$\rightarrow y = \pm1$
$\rightarrow x= y = \pm 1$
Thay $(x=1;y =1)$ vào M, ta được M = 9
Thay $(x=-1; y =-1)$ vào M, ta được M = 17
 
S

sam_chuoi

Umbala

Ta có |x+y| lớn hơn hoặc bằng x+y nếu x+y>0 và lớn hơn hoặc bằng -x-y nếu x+y<0, do x.y=1 nên x,y cùng âm hoặc cùng dương. Đối với TH x và y cùng dương sử dụng bđt côsi ta có x+y lớn hơn hoặc bằng 2căn(xy)=2. Dấu = xảy ra khi x=y=1. Đối với TH x và y cùng âm thì đặt a=-x và b=-y suy ra a,b dương và a.b=1. Suy ra |x+y| lớn hơn hoặc bằng a+b. Sử dụng bđt như trên cho a,b được dấu =xảy ra khi a=b=1 tương đương x=y=-1. Thay x và y vào tìm được giá trị biểu thức từng TH.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom