[Toán 9] Tính, chứng minh

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)tính [TEX]B=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}[/TEX]
2)cmr:
a. [TEX]\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2[/TEX]
b.[TEX]\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} < \frac{1}{2}[/TEX]

Tiêu đề nên phản ánh đúng nội dung bạn nhé

 

[hoangtubongdem5]

Tính [TEX]B=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3} +3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}[/TEX]

Áp dúng công thức

[TEX]\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}+n\sqrt[]{n+1}} = \frac{1}{\sqrt[]{n}} - \frac{1}{\sqrt[]{n+1}}[/TEX]

Thế vào, rút gọn, tính .

Công thức này đơn giản nên mình không chứng minh nhé nữa nhé

 

[sagacious]

Áp dúng công thức

[TEX]\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}+n\sqrt[]{n+1}} = \frac{1}{\sqrt[]{n}} - \frac{1}{\sqrt[]{n+1}}[/TEX]

Thế vào, rút gọn, tính .

Công thức này đơn giản nên mình không chứng minh nhé nữa nhé

nhưng chựa học ct nì mà .

 

[hoangtubongdem5]

Bài 2

a) Ta có

[TEX]\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}} < 2(\frac{1}{\sqrt[]{n}} - \frac{1}{\sqrt[]{n+1}})[/TEX]

Dễ dàng giải tiếp bài Toán.

2 cái công thức của bài 1 và bài 2 a bạn tự chứng minh được không ?. Hay để mình chứng minh dùm luôn

 

[hoangtubongdem5]

Thôi để chứng minh cho dễ hiểu luôn nè

1.

[TEX]\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}+n\sqrt[]{n+1}} [/TEX]

[TEX]= \frac{(n+1)\sqrt[]{n}-n\sqrt[]{n+1}}{(n+1)^2n-n^2(n+1)} [/TEX]

[TEX]= \frac{(n+1)\sqrt[]{n}-n\sqrt[]{n+1}}{n(n+1)}[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}}[/TEX]

2a.
[TEX]\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}}[/TEX]

[TEX]=\frac{\sqrt[]{n}}{n(n+1)}[/TEX]

[TEX]=\sqrt[]{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) [/TEX]

[TEX]=\sqrt[]{n}(\frac{1}{\sqrt[]{n}}+\frac{1}{\sqrt[]{n+1}})(\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}})[/TEX]

[TEX]=(1+\frac{\sqrt[]{n}}{\sqrt[]{n+1}})(\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}}) < 2(\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}})[/TEX]