[Toán 9] Tìm x để P nguyên

[star_music]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:[TEX]P=\frac{2\sqrt[]{x}}{x-\sqrt[]{x}+1}[/TEX].Tìm x để P đạt Gt nguyên.
Bài 2:Cho a,b,c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].Tìm GTLN của biểu thức:[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]

 

[son9701]

Bài 1:[TEX]P=\frac{2\sqrt[]{x}}{x-\sqrt[]{x}+1}[/TEX].Tìm x để P đạt Gt nguyên.
Bài 2:Cho a,b,c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].Tìm GTLN của biểu thức:[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]

Bài 1: Dễ chứng minh [tex]P \geq 0[/tex]P=0 <=> x=0
x \neq 0 [tex] \Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1}\leq \frac{2}{2-1}=1[/tex] (chỗ này áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhé)
P nguyên mà 0 \leq P \leq 2 [TEX]\Rightarrow P=0;1;2[/TEX]
(tự giải vs P=0;1;2 nhá)

 

[star_music]

Bài 2:Cho a,b,c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].Tìm GTLN của biểu thức:[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]

Đặt [TEX]P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]
Theo BĐT Bunhiacopxki thì:[TEX]P^2\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+ \frac{a^2}{b^2})\Rightarrow P^2\leq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX](Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz nhá)[TEX]\Rightarrow P^2\leq (a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -\sqrt[]{3}\leq P \leq \sqrt[]{3}[/TEX] Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]
Vậy [TEX]Max_p=\sqrt[]{3}[/TEX] Đạt tại [TEX]a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]

 

[son9701]

Đặt [TEX]P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]
Theo BĐT Bunhiacopxki thì:[TEX]P^2\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+ \frac{a^2}{b^2})\Rightarrow P^2\leq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX](Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz nhá)[TEX]\Rightarrow P^2\leq (a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -\sqrt[]{3}\leq P \leq \sqrt[]{3}[/TEX] Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]
Vậy [TEX]Max_p=\sqrt[]{3}[/TEX] Đạt tại [TEX]a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]

?????
Trong lời giải của tài liệu đề thi của ĐHKHTN-ĐHQGHN thì lại là thế này:
Đặt [tex]x=\frac{ab}{c};y=\frac{bc}{a};z=\frac{ca}{b} \Rightarrow a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow xy+yz+zx=1 ; P=x+y+z [/tex]
Áp dụng bất đẳng thức :
[TEX]P^2=(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)=3 \Rightarrow P_{min}=\sqrt{3} (a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}) [/TEX]( P k có max)

 

[linhhuyenvuong]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=212817
.....................................................................................

 

[son9701]

Đặt [TEX]P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}[/TEX]
Theo BĐT Bunhiacopxki thì:[TEX]P^2\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+ \frac{a^2}{b^2})\Rightarrow P^2\leq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX](Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz nhá)[TEX]\Rightarrow P^2\leq (a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow -\sqrt[]{3}\leq P \leq \sqrt[]{3}[/TEX] Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]
Vậy [TEX]Max_p=\sqrt[]{3}[/TEX] Đạt tại [TEX]a=b=c=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]

chỗ sai của phần tìm max:

[tex]P^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2})= \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}[/tex]

Đến chỗ ny áp dụng cauchy Svác thì là:
[tex]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex]

Chỗ này bị nghịch dấu nek ....................

 

[bosjeunhan]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=212817
.....................................................................................

Coi lại xem đây là tìm MIN hay MAX
...................................................................

 

[peboo97]

Đề này trong quyển bồi dưỡng do NXB Đại Học Sư Phạm.Trong này ghi là tìm GTLN "chắc có vấn đề"

 

[star_music]

chỗ sai của phần tìm max:

[tex]P^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2})= \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}[/tex]

Đến chỗ ny áp dụng cauchy Svác thì là:
[tex]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex]

Chỗ này bị nghịch dấu nek ....................

ừ sai trầm trọng.Cảm ơn bạn lần sau mình sẽ chú ý hơn !nhưng trong đề người ta ghi là GTLN mà,chắc đề nhầm