[Toán 9] tìm số dư.

[khangancucu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

số $91^{92}$ đựơc viết dưới dạng tổng của các số mà mỗi số là một số tự nhiên. Ta lũy thừa bậc $5$ từng số hạng ấy rồi cộng chúng lại, đem tổng này chia cho $30$. Tìm số dư của phép chia này

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzz

-đặt $91^{92} = a_1 + a_2 + ...+a_n$ ($a_i$ thuộc $N$, với $i=1,2,...n$)
lúc đó tổng cần tìm là $P= {a_1}^5 + {a_2}^5 + ...+{a_n}^5$.
\Rightarrow $P - 91^{92} = ({a_1}^5 + {a_2}^5 + ...+{a_n}^5)- (a_1 + a_2 + ...+a_n)$
$= ({a_1}^5-a_1) + ({a_2}^5-a_2)+...+({a_n}^5-a_n)$

-ta sẽ chứng minh $a^5-a$ chia hết cho $30$
$a^5-a= a(a^4-1) $
$= (a-1)a(a+1)(a^2+1)$
$= (a-1)a(a+1)(a^2-4+5)$
$= (a-1)a(a+1)(a^2-4)+5(a-1)a(a+1)$
$= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+ 5(a-1)a(a+1)$
$(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích $5$ số nguyên liên tiếp nên có $1$ số chia hết cho $2$, $1$ số chia hết cho $3$, $1$ số chia hết cho $5$
\Rightarrow $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) \vdots 2.3.5=30$
tương tự $(a-1)a(a+1) \vdots 6$.
\Rightarrow $5(a-1)a(a+1) \vdots 30$
từ đó \Rightarrow $a^5-a$ chia hết cho $30$


tức là \Rightarrow $ P - 91^{92} \vdots 30$
mà $91 \equiv 1 (mod 30)$
\Rightarrow $91^{92} \equiv 1 (mod 30)$
\Rightarrow $P \equiv 1 (mod 30)$. Tức là $P$ chia $30$ dư $1$.