[Toán 9] Tìm nghiệm nguyên

T

thienlong_cuong

pelinhjoitoan said:
cho mình hỏi bài này, ai làm được thank liền:
tìm nghiệm nguyên x, y cuả phương trình:
[TEX]x^ {2010} + y^ {2010 }= 2012^ {2010}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

chắc chắn bằng 2010 và 0 ! :D
Ta có định lí sau : (từ định lí fecma lớn)
hông tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Vs n = 2010 thì ko thể !
Vậy chỉ có thể xảy ra TH nghiệm (0,2012) và (2012 ; 0)

p/s : http://vi.wikipedia.org/wiki/Phương_trình_Diophantine
 
Last edited by a moderator:
H

harrypham

thienlong_cuong said:
chắc chắn bằng 2010 và 0 ! :D
Ta có định lí sau : (từ định lí fecma lớn)
hông tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Vs n = 2010 thì ko thể !
Vậy chỉ có thể xảy ra TH nghiệm (0,2012) và (2012 ; 0)

p/s : http://vi.wikipedia.org/wiki/Phương_trình_Diophantine
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Như thế vấn thiếu. Nghiệm đầy đủ là [TEX](x,y) \in \{ ( 0, \pm 2012);( \pm 2012,0) \}[/TEX].
 
S

shayneward_1997

Giải nha:
Bước 1: mò ra mấy nghiệm như trên
B2:Ta sẽ chứng minh ngoài máy nghiệm đó pt hết nghiêm.thật vậy:
Do 2010 chẵn giả sử x\geqy>0
[TEX]{x}^{2010}+{y}^{2010}={2012}^{2010}\geq {(x+1)}^{2010}= {x}^{2010}+2010{x}^{2009}........[/TEX]
\Rightarrow [TEX]{x}^{2010}+{y}^{2010}={2012}^{2010}\geq {(x+1)}^{2010}= {x}^{2010}+2010{x}^{2009}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\Rightarrow y>2010, 2012>y[/TEX] \Rightarrow x=y=2011
 
H

harrypham

shayneward_1997 said:
Giải nha:
Bước 1: mò ra mấy nghiệm như trên
B2:Ta sẽ chứng minh ngoài máy nghiệm đó pt hết nghiêm.thật vậy:
Do 2010 chẵn giả sử x\geqy>0
[TEX]{x}^{2010}+{y}^{2010}={2012}^{2010}\geq {(x+1)}^{2010}= {x}^{2010}+2010{x}^{2009}........[/TEX]
\Rightarrow [TEX]{x}^{2010}+{y}^{2010}={2012}^{2010}\geq {(x+1)}^{2010}= {x}^{2010}+2010{x}^{2009}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\Rightarrow y>2010, 2012>y[/TEX] \Rightarrow x=y=2011
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn thử lại đi, x,y bằng 2011 đâu có đúng. Nghiệm chính xác như trên mình đã nói.
 
H

harrypham

Lời giải. (MathScope) Nếu [TEX]x,y[/TEX] lẻ thì [TEX]x^{2010}+y^{2010} \equiv 2 (mod 4)[/TEX] (vô lý)

Nếu trong 2 số [TEX]x,y[/TEX] có một số chẵn, một số lẻ thì
[TEX]x^{2010}+y^{2010} \equiv 1 (mod 4)[/TEX] (vô lý)

Suy ra, [TEX]x,y[/TEX] chẵn. Đặt [TEX]x=2x_1; y=2y_1[/TEX] ([TEX]x_1,y_1[/TEX] là số nguyên)

Do đó [TEX](2x_1)^{2010} + (2y_1)^{2010} = 2012^{2010}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x_1^{2010}+y_1^{2010}=1006^{2010}[/TEX]

Lập luận tương tự trên, ta được [TEX]x_1,y_1[/TEX] chẵn. Đặt [TEX]x_1=2x_2; y_1=2y_2[/TEX] ([TEX]x_2,y_2[/TEX] là số nguyên)

Do đó, ta có [TEX]x_2^{2010}+y_2^{2010}=503^{2010}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x_2^{2010}+y_2^{2010}[/TEX] chia hết cho [TEX]503[/TEX]

Áp dụng tính chất nếu [TEX]p[/TEX] nguyên tố, [TEX]p=4k+3[/TEX] và [TEX]x^{2m}+y^{2m}[/TEX] chia hết cho [TEX]p[/TEX] thì [TEX]x,y[/TEX] đều chia hết cho [TEX]p[/TEX]

Mà [TEX]503[/TEX] là số nguyên tố và [TEX]503=4.125+3[/TEX] nên [TEX]x_2,y_2[/TEX] chia hết cho [TEX]503[/TEX].

Đặt [TEX]x_2=503x_3; y_2=503y_3[/TEX]. Thay vào, ta có

[TEX]x_3^{2010}+y_3^{2010}=1[/TEX]
​

Từ đây dễ dàng suy ra [TEX](x_3,y_3) \in \{(1,0);(-1,0);(0,1);(0,-1)\}[/TEX]

Vậy [TEX](x,y) \in \{(2012,0);(-2012,0);(0,2012);(0,-2012)\}[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom