[Toán 9] Tìm min

[shuieshushu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với x, y là những số thực thoả mãn điều kiện $x + y + xy = 8$
Tìm GTNN của biếu thức: $P = x^2 + y^2$

2) Cho $x + y + z = 3$. Tìm GTNN của biểu thức $B = x^{16} + y^{16} + z^{16}$

 

[lp_qt]

Câu 2

$x^{16}+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 \ge 16.\sqrt{x^{16}.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1} = 16.|x| \ge 16x$

\Rightarrow $x^{16}+15 \ge 16x$

Tương tự: $y^{16}+15 \ge 16y;z^{16}+15 \ge 16z$

\Rightarrow $P+ 15.3 \ge 16(x+y+z)=16.3$

\Rightarrow $P \ge 3$

khi $x=y=z=1$

 

[tienqm123]

đúng thì xác nhận

câu 1 :
Dùng BĐT AM-GM . Ta có :
$x^2 + 4 \ge 4x$
$y^2 + 4 \ge 4y$
$2(x^2+y^2) \ge 4xy $

\Rightarrow $3(x^2 + y^2) + 8 \ge 4(x+y+xy) = 32$
\Rightarrow $P \ge 8$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=2

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Để ý rằng ta có thể đặt $a=x+1, b=y+1$ và rồi $ab=9$. Khi đó:
$x^2+y^2=(a+b)^2-2(a+b)-16=(a+b-6)(a+b+4)+8$. Chú ý rằng $|a+b|=|a|+|b|\ge 6$ nên $(a+b-6)(a+b+4)\ge 0$. Ta có điều phải chứng minh.
Bài 2. Với trình độ THCS không phép cho sử dụng AM-GM $n$ số. May mắn ở đây ta có là $16=2^4$ mà AM-GM cho $2^n$ số thì chứng minh rất dễ dàng:
$(|a|-|b|)^2\ge 0 \leftrightarrow a^2+b^2\ge 2|ab|$
Suy ra $a_1^{16}+a_2^{16}+...+a_{16}^{16}\ge 2(a_1^8a_2^8+a_3^8a_4^8+...+a_{15}^8a_{16}^8)\ge ...\ge 16|a_1a_2...a_{16}|$
Ở đầu lời giải trên thì thêm bổ đề này nữa là ok.