[Toán 9] Tìm Min, Max và chứng minh bất đẳng thức sử dụng Cauchy - Cần giải đáp gấp

[heartson]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình mới đang bắt đầu học chuyên đề sử dụng Cauchy để tìm Min, Max và chứng minh bất đẳng thức, do không dùng nhiều nên bây giờ mình chưa thực sự biết cách áp dụng Cauchy để giải toán. Mình có vài VD, mong mọi người giúp đỡ mình. Mình chắc chắn sẽ thanks.

VD1: Cho [TEX] A = \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3}. [/TEX]
Tìm Min của A với x \geq 0.

VD2: Cho a > b; ab = 1. Chứng minh: [TEX]\frac{a^2 + b^2}{a - b} \geq 2\sqrt{2}[/TEX].

VD3: Tìm Min của[TEX] S = a + \frac{1}{a}[/TEX] với a \geq 3.

VD4: Cho x > 2y. Tìm Min của [TEX] A = \frac{x^2 + y^2}{xy}[/TEX].

VD 5: Tìm Max của [TEX]B =\frac{ 2\sqrt{a}}{a + 2\sqrt{a} + 2}[/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

Mình mới đang bắt đầu học chuyên đề sử dụng Cauchy để tìm Min, Max và chứng minh bất đẳng thức, do không dùng nhiều nên bây giờ mình chưa thực sự biết cách áp dụng Cauchy để giải toán. Mình có vài VD, mong mọi người giúp đỡ mình. Mình chắc chắn sẽ thanks.

VD1: Cho [TEX] A = \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3}. [/TEX]
Tìm Min của A với [TEX]x \geq 0[/TEX]

Giải
[TEX]A = \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x}-3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} - 6[/TEX]

áp dụng bất đẳng thức với

[TEX](\sqrt{x} + 3) + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} \geq 2.\sqrt{(\sqrt{x} + 3).\frac{25}{\sqrt{x} + 3}} = 10 [/TEX]

dấu = xảy ra

[TEX]\sqrt{x} + 3 = \frac{25}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow x = 4[/TEX]

vậy

[TEX]A \geq 10 - 6 = 4 \Rightarrow Min A = 4 \\ x = 4[/TEX]

 

[heartson]

Cảm ơn bạn nhiều lắm.
Còn những con khác, mọi người có thể giúp mình được không?

 

[locxoaymgk]

Mình mới đang bắt đầu học chuyên đề sử dụng Cauchy để tìm Min, Max và chứng minh bất đẳng thức, do không dùng nhiều nên bây giờ mình chưa thực sự biết cách áp dụng Cauchy để giải toán. Mình có vài VD, mong mọi người giúp đỡ mình. Mình chắc chắn sẽ thanks.

VD1: Cho [TEX] A = \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3}. [/TEX]
Tìm Min của A với x \geq 0.

VD2: Cho a > b; ab = 1. Chứng minh: [TEX]\frac{a^2 + b^2}{a - b} \geq 2\sqrt{2}[/TEX].

VD3: Tìm Min của[TEX] S = a + \frac{1}{a}[/TEX] với a \geq 3.

VD4: Cho x > 2y. Tìm Min của [TEX] A = \frac{x^2 + y^2}{xy}[/TEX].

VD 5: Tìm Max của [TEX]B =\frac{ 2\sqrt{a}}{a + 2\sqrt{a} + 2}[/TEX]

Bài 3 chả phải áp dụng điểm rơi trong cô si sao )

Ta có[TEX] a+\frac{1}{a}=(\frac{1}{a}+\frac{a}{9})+\frac{8a}{9}[/TEX]

Theo cô si:

[TEX] \frac{1}{a}+\frac{a}{9} \geq \frac{2}{3}.[/TEX]

[TEX] a \geq 3 \Rightarrow \frac{8a}{9} \geq \frac{8}{3}[/TEX].

[TEX]\Rightarrow a+\frac{1}{a} \geq \frac{10}{3}[/TEX]

[TEX]=\Leftrightarrow a=3[/TEX]

Bài 5:[TEX] DK: a \geq 0[/TEX]

[TEX]\frac{2}{B}=\frac{a+2\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}+2+\frac{2}{sqrt{a}[/TEX]

[TEX]\frac{2}{B} \geq 2\sqrt{2}+2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow B \leq \frac{1}{\sqrt{2}+1}[/TEX]

[TEX]= \Leftrightarrow a=2.[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Gợi ý:
VD2: B = $\dfrac{a^2+b^2}{a-b} = \dfrac{(a-b)^2 +2ab}{a-b}$
$ = a-b+\dfrac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{2}$
VD3: C = $a+\dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{9}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{8a}{9} \geq \dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}$
nhé