[Toán 9] Tìm min $\frac{2a+b}{b+c}+\frac{2b+c}{c+a}+\frac{2b+c}{a+b }$

[vuquan1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm min N = [TEX]\frac{2a+b}{b+c}+\frac{2b+c}{c+a}+\frac{2b+c}{a+b}[/TEX] với a,b,c >0
Bài 2: a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, CM:
[TEX]\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}[/TEX]
Làm nhanh giúp mình nha

 

[son9701]

Câu 1/Ta có:
[TEX]N = (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}) [/TEX]
Theo bất đẳng thức nesbitt 3 số:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Theo bđt cô-si 3 số:
[TEX]\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b} \geq 3[/TEX]

Cộng 2 bđt trên ta có đc min N

 

[minhtuyb]

Đề bài 2 có phải là:

Bài 2: a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, CM:
$\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c$

Nếu vậy:
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác nên suy ra: $b+c-a;c+a-b;a+b-c>0$. Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
$$\sum \frac{a^2}{b+c-a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c\ \square$
--------
Ngoài ra ta có thể đặt ẩn : $x=b+c-a;y=c+a-b;z=a+b-c;...$