SOLUTION: Xét hai trường hợp:
*Với $a=4$ thì:
$$A=(x-4y)^2+6(x-4y)+(x-4y)^2+8x-8y+10$$
Đến đây ta chỉ ra $A$ không có GTNN bằng cách chọn $x=4y;y\in \mathbb{R}$ thì:
$$A=24y+10$$
Cho $y\rightarrow -\infty$ thì $A$ càng nhỏ. Vậy $A$ không có GTNN với $a=4$
*Với $a\ne 4$ thì khai triển $A$ rồi nhóm các hạng tử, thu được
$$A=2x^2-2(a+4)xy+(a^2+16)y^2+14x-2(3a+4)y+10\\ =2(x^2-2x.\dfrac{a+4}{2}y+\dfrac{a^2+8a+16}{4}y^2)+\dfrac{a^2-8a+16}{2}y^2+14x-2(3a+4)y+10\\ =2(x-\dfrac{a+4}{2}y)^2+14(x-\dfrac{a+4}{2}y)+(a+20)y+\dfrac{a^2-8a+16}{2}y^2+10\\ =2\left [(x-\dfrac{a+4}{2}y)^2+2.\dfrac{7}{2}(x-\dfrac{a+4}{2}y)+\dfrac{49}{4} \right ]+\dfrac{a^2-8a+16}{2}y^2+(a+20)y-\dfrac{29}{2}\\=2(x-\dfrac{a+4}{2}y+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{1}{2}\left [ (a-4)^2y^2+2(a-4)y.\dfrac{a+20}{a-4}+\dfrac{(a+20)^2}{(a-4)^2} \right ]-\dfrac{(a+20)^2}{2(a-4)^2}-\dfrac{29}{2}\\=2(x-\dfrac{a+4}{2}y+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{1}{2}\left [ (a-4)y+\dfrac{a+20}{a-4}\right ]^2-\dfrac{15a^2-96a+432}{(a-4)^2}\\\geq -\dfrac{15a^2-96a+432}{(a-4)^2}\ (const) $$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}x-\dfrac{a+4}{2}y+\dfrac{7}{2}=0\\(a-4)y+\dfrac{a+20}{a-4}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{4(a^2-4a+24)}{(a-4)^2}\\ y=-\dfrac{a+20}{(a-4)^2}\end{matrix}\right.$
K/L: - Với $a=4$ thì $A$ không có GTNN
- Với $a\ne 4$ thì $minA=-\dfrac{15a^2-96a+432}{(a-4)^2}$ khi $\left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{4(a^2-4a+24)}{(a-4)^2}\\ y=-\dfrac{a+20}{(a-4)^2}\end{matrix}\right. \square$
OK?
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn