[Toán 9]- Tìm min$A= x^2+y^2+z^2+\frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x}$

[dotuananh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=3$

Tìm min$A= x^2+y^2+z^2+\frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x}$

 

[viethoang1999]

Ta có:$ab+bc+ac=\dfrac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}$
và $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)$
$(a^2+b^2+c^2)=a^3+ab^2+ac^2+b^3+ba^2+bc^2+c^3+a^2c+b^2c=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+ac^2$
Áp dụng bdt AM-GM cho hai số dương ta được:
$a^3+ab^2$ \geq $2a^2b$
CMTT: $b^3+bc^2$ \geq $2b^2c$
$c^3+ac^2$ \geq $2ac^2$
\Rightarrow $(a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)$ \geq $2(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Rightarrow $(a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a$ \geq $3(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $3(a^2+b^2+c^2)$ \geq $3(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Rightarrow $(a^2+b^2+c^2)$ \geq $(a^2b+b^2c+c^2a)$
Khi đó $P$ \geq $a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}= t+\dfrac{9-t}{t}$
($t=a^2+b^2+c^2$ \geq $\dfrac{1}{3}$)
Điểm rơi $t=\dfrac{1}{3}$ OK!)

 

[dotuananh2000]

Có:
$a^2+b^2+c^2$ \geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a$ \leq $\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
\leq $\sqrt{(a^2+b^2+c^2)\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}$ \leq $\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}=(a^2+b^2+c^2)^2$
Đặt $a^2+b^2+c^2=t$ \geq $\dfrac{1}{3}$
\Rightarrow $P$ \geq $t+\dfrac{1-t}{2t^2}=t+\dfrac{1}{2t^2}-\dfrac{1}{2t}$

Điểm rơi là $t=\dfrac{1}{3}$, OK!

Anh ơi! $x+y+z=3$ cơ! Em TL trên VMF r đấy!
Anh xem rồi giải lại giùm em nha!

 

[viethoang1999]

Anh ơi! $x+y+z=3$ cơ! Em TL trên VMF r đấy!
Anh xem rồi giải lại giùm em nha!

Ok mình đã fix
:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|:|