[toán 9] tìm max

[soccan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm $max_P$
$$P=\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+ \dfrac{1}{2c+3a+b+6}$$
với $abc=1$ $a,b,c$ dương

 

[huynhbachkhoa23]

$a,b,c$ phải dương chứ, nếu có $a,b,c$ sao cho $2a+3b+c+6\to 0$ là đạt đến dương vô cực.
Ta đi từ hằng đẳng thức cơ bản:
$\dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{1}{1+z+zx}=1$ với $xyz=1$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$\sum \dfrac{1}{2a+3b+c+6} \le \sum \dfrac{1}{4(2a+3b+c)}+\dfrac{1}{8}$
Ngoài ra:
$\sum \dfrac{1}{2a+3b+c}=\dfrac{1}{b+a+b+a+b+c}\le \dfrac{1}{2(1+\sqrt{b}+\sqrt{ab})}=\dfrac{1}{2}$
$\to P\le \dfrac{1}{4}$