[Toán 9] Tìm GTNN

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho biết các số x, y, z đều lớn hơn $\frac{25}{4}$. Tính GTNN của biểu thức: $P = \frac{x}{2\sqrt{y}-5} + \frac{y}{2\sqrt{z}-5} + \frac{z}{2\sqrt{x}-5}$
Dấu bằng xảy ra khi nào? (Giải chi tiết)

 

[dien0709]

Cho biết các số x, y, z đều lớn hơn $\frac{25}{4}$. Tính GTNN của biểu thức: $P = \frac{x}{2\sqrt{y}-5} + \frac{y}{2\sqrt{z}-5} + \frac{z}{2\sqrt{x}-5}$

$a=2\sqrt{x}-5 , b=2\sqrt{y}-5 , c=2\sqrt{z}-5$=>a,b,c>0

$P=\dfrac{(\dfrac{a+5}{2})^2}{b}+\dfrac{(\dfrac{b+5}{2})^2}{c}+\dfrac{(\dfrac{c+5}{2})^2}{a}$

=>$P$\geq $\dfrac{1}{4}\dfrac{(a+b+c+15)^2}{a+b+c}=\dfrac{1}{4}\dfrac{(u+15)^2}{u}$

=>$4P$\geq $(\dfrac{u+15}{\sqrt[]{u}})^2=(\sqrt[]{u}+\dfrac{15}{\sqrt[]{u}})^2$\geq 60

=>$P$\geq 15 . Dấu "="<=> x=y=z=25

 

[hien_vuthithanh]

Cách khác :

$\dfrac{x}{2\sqrt{y}-5}+2\sqrt{y}-5 \ge 2\sqrt{x}$

$\dfrac{y}{2\sqrt{z}-5}+2\sqrt{z}-5 \ge 2\sqrt{y}$

$\dfrac{z}{2\sqrt{x}-5}+2\sqrt{z}-5 \ge 2\sqrt{z}$

\Rightarrow $P \ge 15$

Dấu=\Leftrightarrow $x=y=z=25$