[Toán 9] Tìm GTNN $S = x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

[s9_forever_love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [TEX]x>0, y>0 [/TEX] thỏa mãn [TEX]x+y \leq \frac{4}{5}[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]S = x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/TEX]
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}[/TEX]

 

[sofia1997]

Bài 1
$x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{25x}{4}+\frac{25y}{4}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-\frac{21}{4}(x+y)$
[TEX]\geq[/TEX] $4\sqrt[4]{\frac{25x}{4}\frac{25y}{4}\frac{1}{x}\frac{1}{y}}$- $\frac{21}{4}(x+y)$
[TEX]\geq[/TEX]10 -$\frac{21}{4}.\frac{4}{5}=\frac{29}{5}$
Dấu băng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$x=y=\frac{2}{5}$

 

[sofia1997]

Bài 2
$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|$
$|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|$[TEX]\geq[/TEX]$|\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2$
Dẩu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})$[TEX]\geq 0[/TEX]