[Toán 9] Tìm GTNN của biểu thức

[nhatvy2606]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = [TEX]x^3[/TEX] + [TEX]y^3[/TEX] + [TEX]x^2[/TEX] + [TEX]y^2[/TEX]

 

[quanghao98]

$x^3+1+1$ \geq 3x
$y^3$+1+1\geq 3y
$x^2$+1 \geq 2x,
$y^2$+1 \geq 2y
\Rightarrow $x^3+y^3+x^2+y^2$ \geq 5(x+y)-6=4
Min=4 \Leftrightarrow x=y=1

 

[1um1nhemtho1]

$x^3+1+1$ \geq 3x
$y^3$+1+1\geq 3y
$x^2$+1 \geq 2x,
$y^2$+1 \geq 2y
\Rightarrow $x^3+y^3+x^2+y^2$ \geq 5(x+y)-6=4
Min=4 \Leftrightarrow x=y=1

Đề bài không cho điều kiện $x,y \ge 0$ bạn nhé ($x,y$ là số thực). Tức là không thể Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số như bạn đã làm.

bài này thì cách đơn giản nhất là thế vào thôi:


$x^3+y^3+x^2+y^2= x^2+y^2+(x^3+y^3)= x^2+y^2+(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$= x^2+y^2+2(x^2-xy+y^2) = 3x^2-2xy+3y^2$.
$x+y=2$ \Rightarrow $x=2-y$
\Rightarrow $3x^2-2xy+3y^2= 3x^2-2x(2-x)+3(2-x)^2$
$= 3x^2 - 4x+2x^2 + 12-12x+3x^2= 8x^2-16x +12 = 8(x-1)^2 +4 \ge 4$
\Rightarrow $min=4$ xảy ra khi $x-1=0$ \Leftrightarrow $x=1$ \Leftrightarrow $y=1$

 

[longbien97]

bài này còn cách khác cũng rất đơn giản
sử dụng trực tiếp BDT bunhiacopxki nhé
[TEX](x^3+y^3)(x+y)\geq(x^2+y^2)^2[/TEX]
mà ta có
[TEX]x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^3}{8}+\frac{(x+y)^2}{2}=4[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=1[/TEX]