[Toán 9] Tìm GTNN của AA1*S(MBC)+BB1*S(MCA)+CC1*S(MAB)

M

minhtuyb

-Đặt biểu thức đã cho là $P$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$
-Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có:
$$AA_1.S_{MBC}\ge AH.S_{BMC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.S_{MBC}$$
Tương tự:
$$BB_1.S_{MCA}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}.S_{MCA}$$
$$CC_1.S_{MAB}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}.S_{MAB}$$
Cộng vế với vế của 3 BĐT cùng chiều ta có:
$$P\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}(S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB})= \dfrac{\sqrt{3}{2}}.S_{ABC}$$
$$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3}{8}\ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $A_1;B_1;C_1$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A,B,C$ xuống $BC;CA;AB$
Vậy $minP=\dfrac{3}{8}\ \square$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom