[Toán 9] Tìm GTNN của A<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/ChuaXN.png" border=

[delta_epsilon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 48: a) Cho $x>y$ và $xy=1$. Chứng minh rằng $\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 $.
b) Cho $x,y>0$ và $xy=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}}$.

 

[tranvanhung7997]

a) Cho $x>y$ và $xy=1$. Chứng minh rằng $P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 $.
Đặt x - y = t (t > 0 vì x > y)
Khi đó: $P = \dfrac{t^2 + 2xy}{t} = \dfrac{t^2 + 2}{t}$ (vì xy = 1)
$= t + \dfrac{2}{t} \ge 2\sqrt[]{t.\dfrac{2}{t}} = 2\sqrt[]{2}$
Dấu = có <=> $t = \dfrac{2}{t}$
<=> $t = \sqrt[]{2}$
<=> $x - y = \sqrt[]{2}$
Mà $xy = 1$. Giải ra tìm x, y

 

[tranvanhung7997]

b) Cho $x,y>0$ và $xy=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}}$.

Ta có: $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}} = \dfrac{x + y}{xy} + \dfrac{2}{{x + y}}$
$= x + y + \dfrac{2}{{x + y}}$ Vì xy = 1
$= \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{2}{{x + y}}$
$\ge \dfrac{2\sqrt[]{xy}}{2} + 2\sqrt[]{\dfrac{(x + y).2}{2.(x + y)}}$
$= 1 + 2 = 3$
Dấu = có <=> x = y = 1

 

[delta_epsilon]

a) Cho $x>y$ và $xy=1$. Chứng minh rằng $P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 $.
Đặt x - y = t (t > 0 vì x > y)
Khi đó: $P = \dfrac{t^2 + 2xy}{t} = \dfrac{t^2 + 2}{t}$ (vì xy = 1)
$= t + \dfrac{2}{t} \ge 2\sqrt[]{t.\dfrac{2}{t}} = 2\sqrt[]{2}$
Dấu = có <=> $t = \dfrac{2}{t}$
<=> $t = \sqrt[]{2}$
<=> $x - y = \sqrt[]{2}$
Mà $xy = 1$. Giải ra tìm x, y

Đây là bài làm của mình, mình không đặt ẩn phụ:
Ta có: \[\begin{array}{l}
VT = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 2xy}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2}}{{x - y}} = x - y + \dfrac{2}{{x - y}}\\
VT\mathop \ge \limits^{A - G} 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow \text{đpcm}
\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi: \[\begin{array}{l}
x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4
\end{array}\]

 

[delta_epsilon]

b) Cho $x,y>0$ và $xy=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}}$.

Ta có: $A = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}} = \dfrac{x + y}{xy} + \dfrac{2}{{x + y}}$
$= x + y + \dfrac{2}{{x + y}}$ Vì xy = 1
$= \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{2}{{x + y}}$
$\ge \dfrac{2\sqrt[]{xy}}{2} + 2\sqrt[]{\dfrac{(x + y).2}{2.(x + y)}}$
$= 1 + 2 = 3$
Dấu = có <=> x = y = 1

Đây là bài làm của mình, mình không tìm được GTNN của A theo cách này nên muốn hỏi để xn lại xem mình làm có sai ở chỗ nào không:
Ta có: \[\begin{array}{l}
A= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}} = \dfrac{{x + y}}{{xy}} + \dfrac{2}{{x + y}} = x + y + \dfrac{2}{{x + y}}\\
A\mathop \ge \limits^{A - G} 2\sqrt {\left( {x + y} \right).\dfrac{2}{{x + y}}} \ge 2\sqrt 2
\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi: \[\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = \dfrac{2}{{x + y}} \Leftrightarrow {{\left( {x + y} \right)}^2} = 2}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = y = 0 \Rightarrow \text{vô lí}
\end{array}
\end{array}\]
Vậy không tìm được GTNN của $A$.

 

[tranvanhung7997]

Đây là bài làm của mình, mình không tìm được GTNN của A theo cách này nên muốn hỏi để xn lại xem mình làm có sai ở chỗ nào không:
Ta có: \[\begin{array}{l}
A= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{{x + y}} = \dfrac{{x + y}}{{xy}} + \dfrac{2}{{x + y}} = x + y + \dfrac{2}{{x + y}}\\
A\mathop \ge \limits^{A - G} 2\sqrt {\left( {x + y} \right).\dfrac{2}{{x + y}}} \ge 2\sqrt 2
\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi: \[\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = \dfrac{2}{{x + y}} \Leftrightarrow {{\left( {x + y} \right)}^2} = 2}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = y = 0 \Rightarrow \text{vô lí}
\end{array}
\end{array}\]
Vậy không tìm được GTNN của $A$.

Đây là kĩ thuật chọn điểm rơi BĐT Cô Si.
Ta thấy điểm rơi ở x = y = 1
Khi đó:$\dfrac{2}{x + y} = 1$ còn x + y = 2.Nếu dùng thẳng BĐT Cô Si thì dấu = không xảy ra.
Vì vậy tách $x + y = \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{x + y}{2}$ để dụng BĐT Cô Si cho:
$\dfrac{x + y}{2} + \dfrac{2}{x + y} \ge 2$