(Toán 9) Tìm GTLN

[baochau15]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn:[tex] x+y+z\leq \frac{3}{2}[/tex]
Tìm GTLN của bt:
[tex]A= \sqrt{x^2+\frac{1}{4}} + \sqrt{y^2+\frac{1}{4}} + \sqrt{z^2+\frac{1}{4}} + 2(\sqrt{x}+ \sqrt{y} + \sqrt{z})[/tex]

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sqrt{x^2+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{x}\le \sqrt{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt{y^2+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{y}\le \sqrt{2}\left(y+\dfrac{1}{2}\right)$
$\sqrt{z^2+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{z}\le \sqrt{2}\left(z+\dfrac{1}{2}\right)$
Ngoài ra ta còn có $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{3(x+y+z)}\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại ta được:
$VT\le \sqrt{2}\left(x+y+z+\dfrac{3}{2}\right)+ \dfrac{ 3\sqrt{2}}{2}\le \dfrac{9\sqrt{2}}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$