\[f = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = 3 - \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}} \right)\]
Ta có: \[\frac{{{1^2}}}{{x + 1}} + \frac{{{1^2}}}{{y + 1}} + \frac{{{1^2}}}{{z + 1}} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{x + 1 + y + 1 + z + 1}} = \frac{9}{4}\]
\[ \Rightarrow - \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}} \right) \le - \frac{9}{4}\]
\[ \Rightarrow f \le 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\]
Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{y + 1}} = \frac{1}{{z + 1}}\\
x + y + z = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
x + y + z = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\]
Vậy GTLN của f là $\dfrac{3}{4}$ khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$
Mình mới nghĩ ra cách làm này nhưng không biết có đúng không, mn kiểm tra lại giùm nhé. À mn giúp mình làm bằng các cách khác nữa nha, càng nhiều cách càng tốt, mình đang muốn tìm hiểu cách cm 1 bđt ntn.
p.s: mình là chủ pic.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn