[Toán 9]Tìm GTLN của A= 3/xy

[blaziken_9119]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số thực x,y (x,y khác 0) thỏa mãn
[tex](x + y +1)xy = x^2+y^2[/tex]
Tìm GTLN: [tex]A= \frac{3}{xy}[/tex]

@minhtuy-Chú ý latex

 

[buimaihuong]

bài giải như sau:

[TEX]x^{2}y + y^{2}x + xy = x^{2} + y^{2}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x^{2}(y-1) + x(y^{2} + y) - y^{2} = 0[/TEX]

để có được x, y \Rightarrow phương trình phải có nghiệm

\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] \geq 0

\Rightarrow [TEX](y^{2} + y)^{2} + 4y^{2}(y-1) \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y^4 + 6y^3 - 3y^2 \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y^{2}(y^{2} + 6y - 3) \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y^{2} + 6y - 3 \geq 0[/TEX]

lập bảng xét dấu:

\Rightarrow [TEX]y \in \ ( -3 - \sqrt{12}, -3 + \sqrt{12})[/TEX]

\Rightarrow x thuộc ...

\Rightarrow xy thuộc ...

\Rightarrow GTLN

bài này ko thấy ai trả lời, mình thử có ý tưởng thế này, không biết sai ở đâu ^^

 

[minhtuyb]

Từ gt[TEX]\Rightarrow xy(x+y)=x^2+y^2-xy(1)\Rightarrow x+y=\frac{x^2+y^2-xy}{xy}\geq 1[/TEX]
-Nhân 2 vế của (1) với [TEX](x+y)[/TEX], ta cũng có:
[TEX]xy(x+y)^2=(x+y)(x^2+y^2-xy)=x^3+y^3\Rightarrow xy=\frac{x^3+y^3}{(x+y)^2}[/TEX]
Đến đây áp dụng BĐT phụ: [TEX]a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq0[/TEX](Đúng với [TEX]\forall a+b\geq 0[/TEX]), có:
[TEX] xy=\frac{x^3+y^3}{(x+y)^2} \geq\frac{\frac{(x+y)^3}{4}}{(x+y)^2}=\frac{x+y}{4}\geq \frac{1}{4}[/TEX]
Suy ra: [TEX]\frac{3}{xy}\leq \frac{3}{\frac{1}{4}}=12[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x+y=1;x=y\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]maxA=12[/TEX] khi [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]