[Toán 9]Tìm giá trị nhỏ nhất

[beconvaolop]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc + bcd + cda +dab =1
Tìm min P = [TEX]4(a^3 + b^3 +c ^3)[/TEX] + [TEX]9d^3[/TEX]

 

[pe_lun_hp]

Bài này đc giải rồi ạ
)

Đi thi làm đến đoạn tìm $x$, đúng là tìm đến cháy máy tính

$4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge 3\sqrt[3]{3x^2}(abd+bcd+acd)+3(4-2x)abc$

Cần tìm $x$ thỏa

$4-2x=\sqrt[3]{3x^2}$

$\Leftrightarrow (4-2x)^3=3x^2$

$\Leftrightarrow 8x^3-45x^2+96x-64=0$

Đặt $x=\sqrt[3]{u}-\dfrac{31}{64\sqrt[3]{u}}+\dfrac{15}{8}$, ta có phương trình

$\dfrac{262144u^2+345088u-29791}{32768u}=0$

Tìm được $u=\dfrac{-337 \pm 64\sqrt{35}}{512}$

$\Rightarrow x=\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+\dfrac{15}{8}$

$\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}}$

$d=\dfrac{\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15}{24\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}}$