[Toán 9] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho $x,y,z,t$ là các số thực thỏa mãn $0\leq x,y,z,t\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=x(1-y)+y(1-z)+z(1-t)+t(1-x)$
​

2) Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt{4x^2+2x+1}+\sqrt{5x^2-6x+\frac{11}{6}}$
$Q=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{2x^2+9x+\frac{257}{25}}$​

3) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $(x+2)(y+1)=5$ =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+4)}+\sqrt{5(x^2+1)}$​

4) Cho $a,b\geq 1$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}-\sqrt{ab}$​

5) Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} -x+2y-8\le 0 & & \\ x+y+2 \geq0 & & \\ y-2x-4 \ge 0 & & \end{matrix}\right.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$P=x^2+y^2$​

6) Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 2x+y\ge2 & & \\ x+3y\le9 & & \\ x\ge0 & & \\ y\ge0 & & \end{matrix}\right.$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=x^2+y^2-4x-8y$​

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:Áp dụng bất đẳng thức $(a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da)$

$x(1-y)+y(1-z)+z(1-t)+t(1-x)=x+y+z+t-xy-yz-zt-tx \geq
2\sqrt{xy+yz+zt+tx}-xy-yz-zt-tx=-(\sqrt{xy+yz+zt+tx}-1)^2+1 \leq 1$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=t=0,5$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5:
Vẽ các phương trình đường thẳng:
$(d_1): x-2y+8=0$
$(d_2): x+y+2=0$
$(d_3): 2x-y+4=0$
$(d_1), (d_2)$ giao nhau tại $A(-4;2)$
$(d_2), (d_3)$ giao nhau tại $B(-2; 0)$
$(d_3), (d_1)$ giao nhau tại $C(0; 4)$
$(x, y) \in ABC$
ta có $P=x^2+y^2$ là phương trình đường tròn với tâm là gốc toạ độ $O$ và bán kính là $\sqrt{P}$:
* $(d_3)$ gần $O$ nhất, nên khoảng cách từ $O$ đến $(d_3)$ là nhỏ nhất
$P_{min}=\frac{|2.0-0+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
\Leftrightarrow $x=\frac{-8}{3}, y=\frac{-4}{3}$
* nếu từ $O$ hạ vuông góc xuống $(d_2)$ thì điểm đó sẽ ở ngoài miền đa giác nên không xét $(d_2)$
* Xét $(d_1)$, hạ $OH$ vuông góc xuống, với $H(\frac{-8}{3};\frac{16}{3})$
$AH>HB$
\Rightarrow $P_{max}=(-4)^2+2^2=20$ \Leftrightarrow $x=-4; y=2$


Bài 6: tương tự, nhưng tâm sẽ khác $O$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 5:
Vẽ các phương trình đường thẳng:
$(d_1): x-2y+8=0$
$(d_2): x+y+2=0$
$(d_3): 2x-y+4=0$
$(d_1), (d_2)$ giao nhau tại $A(-4;2)$
$(d_2), (d_3)$ giao nhau tại $B(-2; 0)$
$(d_3), (d_1)$ giao nhau tại $C(0; 4)$
$(x, y) \in ABC$
ta có $P=x^2+y^2$ là phương trình đường tròn với tâm là gốc toạ độ $O$ và bán kính là $\sqrt{P}$:
* $(d_3)$ gần $O$ nhất, nên khoảng cách từ $O$ đến $(d_3)$ là nhỏ nhất
$P_{min}=\frac{|2.0-0+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
\Leftrightarrow $x=\frac{-8}{3}, y=\frac{-4}{3}$
* nếu từ $O$ hạ vuông góc xuống $(d_2)$ thì điểm đó sẽ ở ngoài miền đa giác nên không xét $(d_2)$
* Xét $(d_1)$, hạ $OH$ vuông góc xuống, với $H(\frac{-8}{3};\frac{16}{3})$
$AH>HB$
\Rightarrow $P_{max}=(-4)^2+2^2=20$ \Leftrightarrow $x=-4; y=2$


Bài 6: tương tự, nhưng tâm sẽ khác $O$

Lớp 9 làm gì đã được áp dụng phương pháp này ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

[huynhbachkhoa23]

Lớp 9 làm gì đã được áp dụng phương pháp này ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

có vài bạn lớp 8 sử dụng $\Delta$ của lớp 9, hay lớp 7 sử dụng hằng đẳng thức lớp 8
vậy lớp 9 cũng có thể sử dụng cách lớp 10
với lại bài này cũng lên lớp 10 rồi (hệ bất phương trình), nên sử dụng cách lớp 10 nghe có vẻ hợp lý nhất

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
$P=\sqrt{4x^2+2x+1} + \sqrt{5x^2-6x+\frac{11}{6}}$
mình không biết cách giải nhưng biết kết quả: $\frac{7\sqrt[]{3}}{6}$

 

[thinhrost1]

Bài 5:
Vẽ các phương trình đường thẳng:
$(d_1): x-2y+8=0$
$(d_2): x+y+2=0$
$(d_3): 2x-y+4=0$
$(d_1), (d_2)$ giao nhau tại $A(-4;2)$
$(d_2), (d_3)$ giao nhau tại $B(-2; 0)$
$(d_3), (d_1)$ giao nhau tại $C(0; 4)$
$(x, y) \in ABC$
ta có $P=x^2+y^2$ là phương trình đường tròn với tâm là gốc toạ độ $O$ và bán kính là $\sqrt{P}$:
* $(d_3)$ gần $O$ nhất, nên khoảng cách từ $O$ đến $(d_3)$ là nhỏ nhất
$P_{min}=\frac{|2.0-0+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
\Leftrightarrow $x=\frac{-8}{3}, y=\frac{-4}{3}$
* nếu từ $O$ hạ vuông góc xuống $(d_2)$ thì điểm đó sẽ ở ngoài miền đa giác nên không xét $(d_2)$
* Xét $(d_1)$, hạ $OH$ vuông góc xuống, với $H(\frac{-8}{3};\frac{16}{3})$
$AH>HB$
\Rightarrow $P_{max}=(-4)^2+2^2=20$ \Leftrightarrow $x=-4; y=2$


Bài 6: tương tự, nhưng tâm sẽ khác $O$

Sẵn thì giải câu 6 luôn đi bạn

 

[soicon_boy_9x]

Nhưng mà lúc đi thi thì cách làm đó coi như không hợp lệ

Nếu mà muốn đáp số thì dùng phần mêm này là được mà

http://www.wolframalpha.com/

 

[soicon_boy_9x]

Câu b) min là $\dfrac{6\sqrt{7}}{5} \leftrightarrow x=-2$

 

[thinhrost1]

Lớp 9 làm gì đã được áp dụng phương pháp này ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nhờ bạn huynhbachkhoa23 mà mình nghĩ ra được cách này của lớp 9.

Gọi I(x,y) là điểm trên mặt phẳng Oxy, Tập hợp I(x,y) là thuộc miền mặt phẳng giời hạn bởi tam giác ABC.

Ta có: $OI^2=x^2+y^2=P$

Nên yêu cầu của bài toán giống với việc tìm gtln và gtnn của $OI^2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6:
Dựng hình:
$(d_1): 2x+y-2=0$
$(d_2): x+3y-9=0$

$(d_1), (d_2)$ cắt Oy lần luợt tại $B(0;2), A(0;3)$
$(d_1), (d_2)$ cắt Ox lần luợt tại $C(1;0), D(9;0)$

Miền đa giác giới hạn:
vì $2x+y-2 \ge 0$ và $x+3y-9 \le 0$ nên miền đa giác xác định là $ABCD$


$P=x^2+y^2-4x-8y$
$=x^2-4x+4+y^2-8y+16-20$
$=(x-2)^2+(y-4)^2-20$
\Leftrightarrow $(x-2)^2+(y-4)^2=P+20$ hay $\sqrt[]{(x-2)^2+(y-4)^2}=\sqrt[]{P+20}$
$\sqrt[]{(x-2)^2+(y-4)^2}$ là khoảng cách từ điểm $(x; y)$ đến điểm $(2;4)$
và có giá trị bằng $\sqrt[]{P+20}$ nên hàm số: $(C): y=f(x)=(x-2)^2+(y-4)^2 - (P+20)=0$
là một đồ thị hình tròn nhận $I(2;4)$ làm tâm và có bán kính là $\sqrt[]{P+20}$
(lập luận nhá, không sử dụng lý thuyết lớp 10 nhá ) ).

nên $P$ nhỏ nhất khi bán kính $(C)$ nhỏ nhất, $P$ lớn nhất khi bán kính $(C)$ lớn nhất và $(C)$ phải đi qua $ABCD$. (thầy cô không bắt bẻ được đâu ) ).

$P_{min/max}$ đạt được ở các cạnh hoặc đỉnh miền xác định nên xét các đường cao và các đỉnh
(vì bài viết không cho quá 1000 từ nên mình sẽ trình bày lời giải tiếp theo ở dưới)

 

[huynhbachkhoa23]

Xét $(d_2)$ vì gần $I$ nhất:
Đường thẳng $(\Delta ): y=ax+b$ đi qua $I$ và vuông góc với $(d_2)$
nên $a=3$
\Rightarrow $b=-2$
Hạ $IH$ vuông góc xuống $(d_2)$
ta có $H(\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$
$P+20=(x_I-x_H)^2+(y_I-y_H)^2=\frac{5}{2}$
\Rightarrow $P=-17.5$

$P_{min}=-17.5$ \Leftrightarrow $x=\frac{3}{2}, y=\frac{5}{2}$

Xét luôn đỉnh $D(9;0)$
ta có $P_{max}=45$ \Leftrightarrow $x=9, y=0$

 

[thinhrost1]

Tuyệt vời ông mặt trời bạn ạ )

Sẽ rất tuyệt nếu bạn giải được bài 3 và bài 4 )