[Toán 9] Tìm cực trị

[henrychinh138]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTLN: [tex]\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yx\sqrt{z-3}}{xyz}[/tex]

 

[xuan_nam]

$\dfrac{yz\sqrt{x - 1} + xz\sqrt{y - 2} + yx\sqrt{z - 3}}{xyz}$

$= \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x} + \dfrac{\sqrt{y - 2}}{y} + \dfrac{\sqrt{z - 3}}{z}$

Ta có: $\sqrt{x - 1} = \sqrt{1(x - 1)} \le \dfrac{1 + x - 1}{2} = \dfrac{x}{2}$

$\sqrt{y - 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2(y - 2)} \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{2 + y - 2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{y}{2}$

$\sqrt{z - 3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3(z - 3)} \le \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{3 + z - 3}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\dfrac{z}{2}$

Cộng theo vế có :

$A \le \dfrac{1}{2}(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}})$

$A_{max} = \dfrac{1}{2}(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}) \leftrightarrow x = 2; y = 4; z = 6$

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng UTC có thể trực tiếp suy ra kết quả vì hàm $\dfrac{\sqrt{x-k}}{x}$ lồi và tiếp tuyến tại điểm rơi có hệ số góc bằng 0.

$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x} \le \dfrac{1}{2}$;$\dfrac{\sqrt{y-2}}{y} \le \dfrac{\sqrt{2}}{4}$;$\dfrac{\sqrt{z-3}}{z} \le \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

Cộng lại: $BT \le \dfrac{1}{2}(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}})$

Dấu bằng khi $x=2; y=4; z=6$