[Toán 9]Tìm cực trị hay

A

asroma11235

Ta có:
[TEX]A=(m+n)ab+ (n+p)bc+(m+p)ac=ma(b+c)+nb(a+c)+pc(a+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ m+n=4 \\ n+p=8 \\ m+p = 6[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ m=1 \\ n=3 \\ p=5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=a(b+c)+3b(a+c)+5c(a+b)= a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A=-(a- \frac{3}{2})^2 -3(b- \frac{3}{2})^2-5(c- \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{4}[/TEX]
Đặt: [TEX] \left{x=|a- \frac{3}{2}| \\ y=|b- \frac{3}{2}| \\ z=|c- \frac{3}{2}|[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Vậy: [TEX]A=-(x^2+3y^2+5z^2)+ \frac{81}{4}[/TEX]
Ta có: [TEX]\left{x^2+u^2 \geq 2xu \\ 3y^2+3v^2 \geq 6 yv \\ 5z^2+5t^2 \geq 10zt[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\frac{81}{4}-A)+ u^2+3v^2+5t^2 \geq 2(xu+3yv+5zt)[/TEX] (')
Chọn [TEX]u=3v=5t[/TEX]
(') [TEX]\Leftrightarrow A \leq \frac{81}{4}+u^2+3v^2+5t^2- 3u[/TEX] (Vì [TEX]x+y+z \geq \frac{3}{2}[/TEX])
Vậy Max [TEX]A=\frac{81}{4}+u^2+3v^2+5t^2- 3u[/TEX] (")
Khi [TEX]\left{ x=u;y=v;z=t \\ x+y+z = \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow u= \frac{45}{46}; v= \frac{15}{46}; t =\frac{9}{46}[/TEX]
Thay vào (") tính được Max [TEX]A= \frac{432}{23}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a= \frac{12}{23}; b= \frac{27}{23}; c= \frac{30}{23}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
A

asroma11235

buiducanh142 said:
Cho em hỏi làm sao anh biết để đặt hệ số ab, ac, bc là m+n, n+p, p+m
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đoạn đầu suy luận hơi ngược chút.
Nhìn vào các hệ số 4;6;8. Ta nghĩ đến việc tồn tại các bộ số hoán vị có tổng thỏa mãn đề bài.Thực ra, tác giả bài này đã cố tình cho ta các hệ số chuẩn: 4;6;8 thì ta mới có thể có được một phép chứng minh khá đẹp như trên(Các bạn có thể tự tìm được các hệ số khác thỏa mãn m,n,p/khi đó bài toán sẽ vẫn làm được theo các trên). Còn hệ số không thỏa mãn được các cặp m,n,p thì ta phải dùng các phương pháp cao hơn để giải .
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom