[Toán 9] Tìm chữ số tận cùng của số sau $A=2^1+3^5+4^9+......+502^{2001}$

N

noinhobinhyen

$2^1 = 2 (mod 10)$

$3^5=3 (mod 10)$

$4^9 = 4 (mod 10)$

....

suy ra chữ số tận cùng của A cũng chính là chữ số tận cùng của tổng :

$2+3+4+...+502 = \dfrac{502.503}{2} - 1 = 126252 =2 (mod 10)$
 
H

harrypham

noinhobinhyen said:
$2^1 = 2 (mod 10)$

$3^5=3 (mod 10)$

$4^9 = 4 (mod 10)$

....

suy ra chữ số tận cùng của A cũng chính là chữ số tận cùng của tổng :

$2+3+4+...+502 = \dfrac{502.503}{2} - 1 = 126252 =2 (mod 10)$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Em nghĩ giải như thế này không chặt chẽ, nhớ đâu trong các số trên có một số khi lũy thừa không đồng dư với nó modun 10 thì sao ??
Ta nên chứng minh bài toán tổng quát:
Với mọi số nguyên dương [TEX]n[/TEX] thì [TEX]n^{4k+1} \equiv n \pmod{10}[/TEX], trong đó [TEX]k \in \mathbb{N}[/TEX].
Khi đó mới có thể đưa ra nhận xét như anh làm trên.
 
H

harrypham

Lời giải. Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề. Cho [TEX]n[/TEX] là số nguyên dương thì [TEX]n^{4k+1} \equiv n \pmod{10}[/TEX] với [TEX]k \in \mathbb{N}[/TEX].
Chứng minh. Ta có [TEX]n^{4k+1}-n=n(n^{4k}-1)[/TEX].
Hiển nhiên [TEX]n,n^{4k}-1[/TEX] khác tính chẵn lẻ nên [TEX]n(n^{4k}-1)[/TEX] chia hết cho 2.
Ta xét TH:
+ Với [TEX]n \ \vdots 5 \Rightarrow n(n^{4k}-1) \ \vdots 5[/TEX].
+ Với [TEX]n \not\vdots 5[/TEX]. Theo định lý Fermat nhỏ thì [TEX](n^k)^4-1 \ \vdots 5[/TEX]. Do đó [TEX]n(n^{4k}-1)[/TEX] chia hết cho 5.
Vậy ta có đpcm.

Quay lại bài toán. Ta có
[TEX]\begin{array} 2^1=2^{4 \cdot 0+1} \equiv 2 \pmod{10} \\ 3^5=3^{4 \cdot 1+1} \equiv 3 \pmod{10} \\ \cdots \\ 502^{2001}=502^{500 \cdot 4+1} \equiv 502 \pmod{10} \end{array}[/TEX]​
Ta suy ra
[TEX]A \equiv 2+3+ \cdots + 502 \equiv \fbox{2} \pmod{10}[/TEX]​
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom