[Toán 9] Tìm 2 số nguyên dương a,b sao cho $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số chính phương

[ronaldo1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm 2 số nguyên dương a,b sao cho $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số chính phương
@minhtuyb: Chú ý cách gõ tiếng Việt có dấu và Latex

 

[minhtuyb]

Ta có thể giải quyết bài toán mở rộng hơn:
Tìm 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên dương.
---
Đặt $a^2+b^2=k(ab+1)\ (k\in \mathbb{N^*})\Rightarrow a^2-kba-k+b^2=0\ (1)$
Để $(1)$ có nghiệm nguyên:
$$\Delta_{a}=k^2b^2+4(k-b^2)=v^2\ (v\in \mathbb{N})\ \ (2)$$

Xét 3 TH:

+) TH 1: Nếu $k=b^2$ thì:
$$(1)\Leftrightarrow a^2-b^3a=0\\ \Leftrightarrow a=b^3$$
Thử lại thấy thỏa

+) TH 2: Nếu $k> b^2$. Đặt $k=b^2+r\ (r\in \mathbb{N^*})$ thì:
$$(2)\Leftrightarrow (b^3+br)^2+4r=v^2$$
-Nếu $b\ge 2$ thì ta dễ dàng chặn được:
$$(b^3+br)^2<v^2<(b^3+br+1)^2$$
$\Rightarrow$ Vô lí. Vậy $b=1$ (đến đây đơn giản, bạn tự giải tiếp nhé!)

+) TH 3: Nếu $b^2>k$. Đặt và giải tương tự nhé!

Xong rồi các nghiệm nào chính phương thì bạn lọc ra. Chúc bạn học tốt ^_^.