Toán [toán 9] thi học sinh giỏi

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C là a,b,c; gọi x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của các góc A, B, C. Chứng minh:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $

 

[phamhuy20011801]

Qua $B$ kẻ đường thẳng $//x$ cắt $AC$ tại $M$. Khi đó $\triangle \ ABM$ cân tại $A$ nên $AM=c$, suy ra $CM=AM+AC=b+c$ và $BM<AB+AM=2c$
Theo $Ta-let$, $BM//x \rightarrow \dfrac{AC}{CM}=\dfrac{x}{BM} \rightarrow x= \dfrac{b.MB}{b+c} < \dfrac{b.2c}{b+c} \rightarrow \dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}$
Cm các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được đpcm.