H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Định lý 1. Cho $a,b,c$ là các hằng số thực với $a>0$. Bất đẳng thức $ax^2+bx+c\ge 0$ đúng khi và chỉ khi $\Delta \le 0$
Chứng minh.
Thuận: $\Delta = b^2-4ac\le 0$
$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a} \ge 0$
Đảo: $ax^2+bx+c\ge 0$ thì ta cần có $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}\ge 0$
$\Delta=b^2-4ac>0$ thì chọn $x=\dfrac{-b}{2a}$ cho ta điều vô lý là $ax^2+bx+c$ có giá trị âm. Vậy $\Delta\le 0$
Ứng dụng:
Bài toán 1. Cho hai bộ số thực $(a_1, a_2, ..., a_n)$ và $(b_1, b_2, ..., b_n)$. Khi đó ta luôn có bất đẳng thức:
$$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$$
Lời giải.
Xét tam thức $f(x)=(a_1x-b_1)^2+(a_2x-b_2)^2+...+(a_nx-b_n)^2 \ge 0$
$$\to f(x)=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\ge 0$$
Theo định lý đảo cho ta $\Delta '\le 0$ hay:
$$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$$
Đây là điều cần chứng minh.
Bài toán 2. Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $ax+by+cz=0$. Chứng minh $xy+yz+zx\le 0$
Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra $z=-\dfrac{ax+by}{c}$, thay vào $xy+yz+zx$, ta đưa về việc chứng minh:
$$f(x)=ax^2-y(a+b-c)x+by^2\ge 0$$
Theo định lý thuận thì ta chỉ cần có $\Delta \le 0$ hay là:
$$y^2(a+b-c)^2\le 4aby^2\leftrightarrow (a-b)^2+c^2\le 2(a+b)c$$
Ta chứng minh $(a-b)^2\le c^2 \leftrightarrow (a-b-c)(a-b+c)\le 0$ luôn đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Ngoài ra $2c^2<2(a+b)c$ nên cho ta điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $x=y=z=0$
Định lý 2. $a\le x \le b$ khi và chỉ khi $x^2-(a+b)x+ab\le 0$ (với $a<b$)
Chứng minh.
Thuận: $x\ge a \leftrightarrow x-a\ge 0$
$x\le b\leftrightarrow x-b\le 0$
Suy ra $(x-a)(x-b)\le 0 \leftrightarrow x^2-(a+b)x+ab\le 0$
Đảo: $x^2-(a+b)x+ab\le 0 \leftrightarrow (x-a)(x-b)\le 0$
Nếu $x\ge a$ thì $x\le b$
Nếu $x<a$ thì $x>b$ vô lý vì khi đó $a>b$ mâu thuẫn với $a<b$
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Ứng dụng:
Bài toán 1. Chứng minh rằng với số thực dương $a$ thì ta luôn có:
$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{...+\sqrt{a}}}}<\dfrac{1+ \sqrt{4a+1}}{2}$$
với hữu hạn dấu căn
Lời giải.
Với dãy số $u_n$ thỏa mãn $u_1=\sqrt{a}$ và $u_{n+1}=\sqrt{a+u_n}$ thì ta dễ dàng chứng minh $u_{n+1}>u_{n}$, đặt $u_n=L$ thì ta có $\sqrt{a+L}>L \leftrightarrow L^2-L-a<0$
Theo định lý trên cho ta $L<L_0$ với $L_0$ là nghiệm lớn nhất của $L^2-L-a=0$
$\Delta = 4a+1>0 \to L_0=\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2. Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}a^2+b^2+c^2=8\\ ab+bc+ca=4 \\ \end{cases}$
Chứng minh $|a|\le \dfrac{8}{3}$
Lời giải.
Từ hệ phương trình trên cho ta $a+b+c=\pm 4$
Nếu $a+b+c=4$ thì $2(b^2+c^2)\ge (b+c)^2 \leftrightarrow 2(8-a^2) \ge (4-a)^2 \leftrightarrow a(3a-8)\le 0$
Theo định lý trên thì $0\le a\le \dfrac{8}{3}$
Tương tự với $a+b+c=-4$ thì ta có $0\ge a\ge \dfrac{-8}{3}$
Do đó $|a|\le \dfrac{8}{3}$
Bài tập áp dụng:
Bài toán 1. Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. Chứng minh:
$$ac+bd+cd \le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}$$
Bài toán 2. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\le 9$$
Bài toán 3. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$A=x^2+2y^2+3z^2$$
Bài toán 4. Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$3(a^3b+b^3c+c^3a)\le (a^2+b^2+c^2)^2$$
Chứng minh.
Thuận: $\Delta = b^2-4ac\le 0$
$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a} \ge 0$
Đảo: $ax^2+bx+c\ge 0$ thì ta cần có $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}\ge 0$
$\Delta=b^2-4ac>0$ thì chọn $x=\dfrac{-b}{2a}$ cho ta điều vô lý là $ax^2+bx+c$ có giá trị âm. Vậy $\Delta\le 0$
Ứng dụng:
Bài toán 1. Cho hai bộ số thực $(a_1, a_2, ..., a_n)$ và $(b_1, b_2, ..., b_n)$. Khi đó ta luôn có bất đẳng thức:
$$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$$
Lời giải.
Xét tam thức $f(x)=(a_1x-b_1)^2+(a_2x-b_2)^2+...+(a_nx-b_n)^2 \ge 0$
$$\to f(x)=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\ge 0$$
Theo định lý đảo cho ta $\Delta '\le 0$ hay:
$$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$$
Đây là điều cần chứng minh.
Bài toán 2. Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $ax+by+cz=0$. Chứng minh $xy+yz+zx\le 0$
Lời giải.
Từ giả thiết ta suy ra $z=-\dfrac{ax+by}{c}$, thay vào $xy+yz+zx$, ta đưa về việc chứng minh:
$$f(x)=ax^2-y(a+b-c)x+by^2\ge 0$$
Theo định lý thuận thì ta chỉ cần có $\Delta \le 0$ hay là:
$$y^2(a+b-c)^2\le 4aby^2\leftrightarrow (a-b)^2+c^2\le 2(a+b)c$$
Ta chứng minh $(a-b)^2\le c^2 \leftrightarrow (a-b-c)(a-b+c)\le 0$ luôn đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Ngoài ra $2c^2<2(a+b)c$ nên cho ta điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $x=y=z=0$
Định lý 2. $a\le x \le b$ khi và chỉ khi $x^2-(a+b)x+ab\le 0$ (với $a<b$)
Chứng minh.
Thuận: $x\ge a \leftrightarrow x-a\ge 0$
$x\le b\leftrightarrow x-b\le 0$
Suy ra $(x-a)(x-b)\le 0 \leftrightarrow x^2-(a+b)x+ab\le 0$
Đảo: $x^2-(a+b)x+ab\le 0 \leftrightarrow (x-a)(x-b)\le 0$
Nếu $x\ge a$ thì $x\le b$
Nếu $x<a$ thì $x>b$ vô lý vì khi đó $a>b$ mâu thuẫn với $a<b$
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Ứng dụng:
Bài toán 1. Chứng minh rằng với số thực dương $a$ thì ta luôn có:
$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{...+\sqrt{a}}}}<\dfrac{1+ \sqrt{4a+1}}{2}$$
với hữu hạn dấu căn
Lời giải.
Với dãy số $u_n$ thỏa mãn $u_1=\sqrt{a}$ và $u_{n+1}=\sqrt{a+u_n}$ thì ta dễ dàng chứng minh $u_{n+1}>u_{n}$, đặt $u_n=L$ thì ta có $\sqrt{a+L}>L \leftrightarrow L^2-L-a<0$
Theo định lý trên cho ta $L<L_0$ với $L_0$ là nghiệm lớn nhất của $L^2-L-a=0$
$\Delta = 4a+1>0 \to L_0=\dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2. Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}a^2+b^2+c^2=8\\ ab+bc+ca=4 \\ \end{cases}$
Chứng minh $|a|\le \dfrac{8}{3}$
Lời giải.
Từ hệ phương trình trên cho ta $a+b+c=\pm 4$
Nếu $a+b+c=4$ thì $2(b^2+c^2)\ge (b+c)^2 \leftrightarrow 2(8-a^2) \ge (4-a)^2 \leftrightarrow a(3a-8)\le 0$
Theo định lý trên thì $0\le a\le \dfrac{8}{3}$
Tương tự với $a+b+c=-4$ thì ta có $0\ge a\ge \dfrac{-8}{3}$
Do đó $|a|\le \dfrac{8}{3}$
Bài tập áp dụng:
Bài toán 1. Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$. Chứng minh:
$$ac+bd+cd \le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}$$
Bài toán 2. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\le 9$$
Bài toán 3. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$A=x^2+2y^2+3z^2$$
Bài toán 4. Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$3(a^3b+b^3c+c^3a)\le (a^2+b^2+c^2)^2$$
Last edited by a moderator: