[Toán 9] $(\sum\frac{a}{b+c})^2 + \frac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 4$

[chitrung1411998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR
$(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a})^2 + \dfrac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 4$
@minhtuyb: Chú ý Latex và cách đặt tên tiêu đề

 

[hoangtrongminhduc]

dấu bằng xảy ra khi a=b=c

 

[huytrandinh]

Chứng minh sai rồi em ơi. Thật ra hai bđt mà em vừa đưa ra là hai bđt ngược chiều với nhau rồi em ạ.

 

[hoangtrongminhduc]

đoạn(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc mà thay vào quên chuyển dấu chắc sai rồi

 

[minhtuyb]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR
$(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a})^2 + \dfrac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 4$

Một bài S.O.S khá cơ bản:
---
$$bdt\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a}\right)^2-\dfrac{9}{4} + 14\left[ \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} -\dfrac{1}{8}\right ] \geq 0\\\Leftrightarrow \left(\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\sum\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{7}{4}.\dfrac{8abc-(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 0\\\Leftrightarrow \left(\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\sum\dfrac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)}\right)-\dfrac{7}{4}.\dfrac{\sum c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 0\\ \Leftrightarrow S_c(a-b)^2+S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2\ge 0$$
Với
$$S_c=\dfrac{1}{2(b+c)(c+a)}\left(\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}.\dfrac{c}{a+b}\right)=\dfrac{1}{2(b+c)(c+a)}\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}.\dfrac{c}{a+b}\right)\\S_a=\dfrac{1}{2(c+a)(a+b)}\left(\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}.\dfrac{a}{b+c}\right)\\S_b=\dfrac{1}{2(a+b)(b+c)}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}.\dfrac{b}{c+a}\right)$$
---
Bạn làm tiếp được chứ?

 

[vuhoang_97]

ông làm thế này thì giết ngta à .

..............
@minhtuyb: Gì nữa. Áp mấy cái tiêu chuẩn S.O.S vào nữa thôi ^_^