[Toán 9] $\sum a.\sqrt{2b+c^2} \le 3\sqrt 3$

[quangltm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm n sao cho $\frac{3^n}{n!} \le 10^{-6}$
2.a, b, c không âm sao cho $a + b + c=3$. Chứng minh $a.\sqrt{2b+c^2}+b.\sqrt{2c+a^2}+c.\sqrt{2a+b^2} \le 3\sqrt 3$
3. Chứng minh $x^x+y^y \ge \sqrt2$ với x+y=1 (x, y > 0) (cái này chắc không giải bình thường được )

 

[minhtuyb]

Bài 2:
$$VT^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{2ab+c^2a})^2 \le (a+b+c)(2ab+2bc+2ca+a^2b+b^2c+c^2a)$$

Vậy ta chỉ cần c/m:

$$(a+b+c)^2\ge 2ab+2bc+2ca+a^2b+b^2c+c^2a\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$$

Đến đây chắc bạn làm tiếp được ^^

 

[quangltm]

Bài 2:
$$VT^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{2ab+c^2a})^2 \le (a+b+c)(2ab+2bc+2ca+a^2b+b^2c+c^2a)$$

Vậy ta chỉ cần c/m:

$$(a+b+c)^2\ge 2ab+2bc+2ca+a^2b+b^2c+c^2a\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$$

Đến đây chắc bạn làm tiếp được ^^

OK rồi ạ

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy
Bất đẳng thức mạnh hơn:
$a\sqrt{b+c^2}+b\sqrt{c+a^2}+c\sqrt{a+b^2} \le 3\sqrt 2$ (với $a + b + c = 3|a,b,c$ không âm)