[Toán 9] $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\ frac{z}{x+y}}<2$

[phamminhtu11]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}<2$
với x,y,z dương

 

[hoangtrongminhduc]

[TEX]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{ x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}<2[/TEX]

 

[vansang02121998]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\dfrac{y+z}{x}+1 \ge 2\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x+y+z}{2x} \ge \sqrt{\dfrac{y+z}{x}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x}{y+z}} \ge \dfrac{2x}{x+y+z}$

Chứng minh tương tự

$\sqrt{\dfrac{y}{z+x}} \ge \dfrac{2y}{x+y+z}$

$\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} \ge \dfrac{2z}{x+y+z}$

Cộng vế với vế

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} \ge \dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z} = 2$

Tuy nhiên dấu $"="$ không xảy ra vì không có $x;y;z$ thỏa

$\dfrac{y+z}{x}=\dfrac{z+x}{y}=\dfrac{x+y}{z}=1$

Vậy, $\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$

 

[endinovodich12]

Rất mong đươc giúp đỡ!

Đề này thiếu điều kiện là : x+y+z=1
Hãy sửa lại đề cho đúng và gõ tex

 

[nghgh97]

Đề này thiếu điều kiện là : x+y+z=1
Hãy sửa lại đề cho đúng và gõ tex

Coi lại cái chỗ này, không cần điều kiện x + y + z = 1 làm gì cả :|
$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} \ge \dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z} = 2$