[Toán 9] Số học

[lan_phuong_000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Biết a và b đều không chia hết cho số nguyên tố lẻ p nhưng [tex] a^2 - b^2 [/tex] chia hết cho [tex] p^n[/tex] ( n nguyên dương ) CMR: a+b hoặc a-b chia hết cho p.
2. Cho n là số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau với 5
CMR: [tex] n^4 -1[/tex] chia hết cho 80
3. Tìm 2 số tự nhiên sao cho tích của chúng chia hết cho tổng của chúng

 

[minhtuyb]

1. Biết a và b đều không chia hết cho số nguyên tố lẻ p nhưng [tex] a^2 - b^2 [/tex] chia hết cho [tex] p^n[/tex] ( n nguyên dương ) CMR: a+b hoặc a-b chia hết cho p.
2. Cho n là số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau với 5
CMR: [tex] n^4 -1[/tex] chia hết cho 80
3. Tìm 2 số tự nhiên sao cho tích của chúng chia hết cho tổng của chúng

1. Đề hơi thừa thì phải :-?:
[TEX]a^2-b^2\vdots p^n\Rightarrow (a-b)(a+b)\vdots p^n\Rightarrow \begin{bmatrix}a+b\vdots p^n\\ a-b\vdots p^n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a+b\vdots p\\ a-b\vdots pn\end{matrix}\right.[/TEX] (Vì p nguyên tố)
2. [TEX]k,p\in N[/TEX]
[TEX]n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)[/TEX]
-Với [TEX]n=5k+1[/TEX] thì [TEX]n-1\vdots 5[/TEX]
-Với [TEX]n=5k+2[/TEX] thì [TEX]n^2+1\vdots 5[/TEX]
-Với [TEX]n=5k+3[/TEX] thì [TEX]n^2+1\vdots 5[/TEX]
-Với [TEX]n=5k+4[/TEX] thì [TEX]n+1\vdots 5[/TEX]
Vậy trong mọi trường hợp đều có [TEX]n^4-1\vdots 5[/TEX]
-Vì [TEX]n[/TEX] lẻ nên thay [TEX]n=2p+1[/TEX], ta có:
[TEX](n-1)(n+1)(n^2+1)=2p(2p+2)(4p^2+4p+2)=8p(p+1)(2p^2+2p+1)[/TEX]
Lại thấy [TEX]p(p+1)\vdots 2\Rightarrow 8p(p+1)(2p^2+2p+1)\vdots 8.2=16[/TEX]
*Có: [TEX]n^4-1\vdots 5[/TEX];[TEX]n^4-1\vdots 16[/TEX];[TEX](16;5)=1\Rightarrow n^4-1\vdots 16.5=80<DPCM>[/TEX]
3.Gọi 2 số tự nhiên đó là [TEX]a,b\in N[/TEX],có:
[TEX]ab\vdots a+b[/TEX]
Mà [TEX]ab\vdots a;a\vdots a\Rightarrow b\vdots a(1)[/TEX]
Tương tự: [TEX]ab\vdots b;b\vdots b\Rightarrow a\vdots b(2)[/TEX]
-Từ (1) và (2)[TEX]\Rightarrow a=b[/TEX]. Khi đó:
[TEX]ab\vdots a+b\Rightarrow a^2\vdots 2a\Rightarrow a\vdots 2[/TEX]
Vậy với mọi số tự nhiên a,b sao cho [TEX]a=b;a\vdots 2[/TEX] thì thỏa mãn yêu cầu đề bài

 

[taolmdoi]

3.
Mà [TEX]ab\vdots a;a\vdots a\Rightarrow b\vdots a(1)[/TEX]

mình hok hiểu cái này
sao b chia hết a...................

 

[minhtuyb]

mình hok hiểu cái này
sao b chia hết a...................

T/c cơ bản đó bạn : Nếu tổng chia hết cho 1 số; 1 phần tử trong tổng chia hết cho số thì tổng các phần tử còn lại cũng chia hết cho số đó:
[TEX]\left.\begin{matrix}a_1+a_2+a_3+..+a_n\vdots p\\ a_1\vdots p\end{matrix}\right\}\Rightarrow a_2+a_3+...+a_n\vdots p[/TEX]
Trường hợp bạn hỏi là n=2