[Toán 9] $S_{AMN}\geq \frac{9}{4}S_{ABC}$

[thanhdatkien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $\Delta ABC $,trọng tâm $G$. Một đường thẳng qua $G$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$ . CMR:
$1. \frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AN}=3$
$2. S_{AMN}\geq \frac{9}{4}S_{ABC}$

 

[luffy_1998]

a.
Sửa đề: $\dfrac{AB}{AM} + \dfrac{AC}{AN} = 3$
AG cắt BC tại D $\rightarrow D \in AG$
Gọi đường thẳng qua G là a. Hình chiếu của A, B, C, D trên a là A', B', C', D'.
$\dfrac{DD'}{AA'} = \dfrac{DG}{AG} = \dfrac{1}{2} \rightarrow AA' = 2DD' = BB' + CC'$
$\dfrac{BM}{AM} = \dfrac{BB'}{AA'} \rightarrow \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AA' + BB'}{AA'} = 1 + \dfrac{BB'}{AA'}$
Tương tự: $\dfrac{AC}{AN} = 1 + \dfrac{CC'}{AA'}$
$\rightarrow \dfrac{AB}{AM} + \dfrac{AC}{AN} = 2 + \dfrac{BB' + CC'}{AA'} = 2 + 1 = 3$
b.
Đề sai vì $S_{AMN} < S_{ABC}$
Sửa đề: Vế phải là $\dfrac{4}{9}$
$\dfrac{ S_{AMN} }{ S_{ABC} } = \dfrac{AM}{AB} . \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AA'}{AA' + BB'} . \dfrac{AA'}{AA' + CC'} \ge \dfrac{AA'^2}{ \dfrac{1}{4} (AA' + BB' + CC' + AA')^2} = \dfrac{4}{9} (dpcm)$

 

[haibara4869]

Câu a sai đề.
Sửa lại đề $\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3$
Gọi trung điểm của BC là D
Từ B, C vẽ các tia Bx, Cy cắt AM tại K và I.
Ta có: Tam giác BDK = tam giác CDI (g.c.g)$=> DI = DM$
$=> AK + AI = 2 AD$
Áp dụng định lý Thales ta có:
$\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = \frac{AK}{AG} + \frac{AI}{AG} = \frac{AK + AI}{AG} = 3$

Câu b sai đề
Sửa lại:
$S_{AMN} \leq \frac{4S_{ABC}}{9}$
Từ câu a ta có:
$3=\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} \geq 2. \sprt{\frac{AB}{AM} . \frac{AC}{AN}}$
$\Rightarrow \frac{9}{4} \geq \frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}$
$\Rightarrow S_{AMN} \leq \frac{4S_{ABC}}{9}$

p.s: làm vắn tắt chứ mama không cho onl nhiều với lại hôm qua đang post thì mạng có vấn đề rồi thì sau đó vào trang bị lỗi nên không post được.