[Toán 9] Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

[hoangtubongdem5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

P= [TEX]\frac{x}{(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y})(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{z})}+\frac{y}{(\sqrt[]{y}-\sqrt[]{z})(\sqrt[]{y}-\sqrt[]{x})}+\frac{z}{(\sqrt[]{z}-\sqrt[]{x})(\sqrt[]{z}-\sqrt[]{y})}[/TEX]

Với x,y,z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến !

 

[congchuaanhsang]

P= [TEX]\frac{x}{(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y})(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{z})}+\frac{y}{(\sqrt[]{y}-\sqrt[]{z})(\sqrt[]{y}-\sqrt[]{x})}+\frac{z}{(\sqrt[]{z}-\sqrt[]{x})(\sqrt[]{z}-\sqrt[]{y})}[/TEX]

$P=\dfrac{-x(\sqrt{y}-\sqrt{z})-y(\sqrt{z}-\sqrt{x})-z(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

Đặt $\sqrt{x}=a$ ; $\sqrt{y}=b$ ; $\sqrt{z}=c$ (a,b,c \geq 0)

$P=-\dfrac{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

\Leftrightarrow $P=-\dfrac{a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

\Leftrightarrow $P=-\dfrac{(a-b)(a+b)(b-c)-(a-b)(b-c)(b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

\Leftrightarrow $P=-\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$