[Toán 9] Quỹ tích điểm

[sad_rains]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho(O) nội tiếp hình vuông ABCD. OM,ON là 2 bán kính thay đổi của đường tròn và vuông góc vs nhau. Qua M,N vẽ các đg thẳng // vs cạnh hình vuông,chúng cắt nhau tại I,K.Tìm tập hợp I,K

 

[de_3_lo]

Gọi d_M,d_N lần lượt là 2 đường thẳng đi qua $M,N$ và song song với $AB,BC$


Gọi $d_N$ cắt $BD$ tại $I'$

Do $BD$ là đường chéo hình vuông $ABCD$ nên $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{OBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}2=\dfrac{90^o}2=45^o$

Vì $d_N // BC \Rightarrow \widehat{OI'N}=\widehat{OBC}=45^o \ \ (1)$

Do $OM \bot ON ;OM=ON \Rightarrow \Delta OMN$ vuông cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OMN}=45^o \ \ (2)$

Từ $(1) ; \ (2) \Rightarrow OMNI'$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MI'N}=180^o-\widehat{MON}=90^o$

$\Rightarrow MI' \bot d_N$

$d_N //BC \Rightarrow MI' \bot BC$

$BC \bot AB \Rightarrow MI'//AB$

$\Rightarrow I' $ trùng $I$ hoặc $K$

Nếu $I'$ trùng với $I$ $\Rightarrow I \in BD$

Chứng minh tương tự phía trên;ta có $K \in AC$

Do,$I;K$ có vai trò như nhau nên
khi $I \in BD$ thì $K \in AC$
khi $K \in BD$ thì $I \in AC$

Do điểm I hoặc K có thể trùng với A;B;C;D nên tập hợp I,K là hai đường chéo BD,AC của hình vuông