Lời giải. Xét các trường hợp có 1 trong 3 số bằng 0 ta được nghiệm
[TEX]\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;a; - a} \right);\left( {a; - {a^2};0} \right);\left( {a;0; - {a^2}} \right)[/TEX]
Xét khi x;y;z đều khác 0
[TEX]\begin{array}{l}{x^2} + y + z = xyz\left( 1 \right)\\ \Rightarrow y + z = kx\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + k = yz\\y + z = kx\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + \left| k \right| \ge \left| y \right|\left| z \right|\\\left| y \right| + \left| z \right| \ge \left| k \right|\left| x \right|\end{array} \right. \to \left( {\left| k \right| - 1} \right)\left( {\left| x \right| - 1} \right) + \left( {\left| y \right| - 1} \right)\left( {\left| z \right| - 1} \right) \le 2
\end{array}[/TEX]
Nếu [TEX]k = 0 \to y = - z \to {x^2} = - x{y^2} \to \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - {y^2}\end{array} \right. \to \left( {x;y;z} \right) = \left( { - {a^2};a; - a} \right)[/TEX]
Xét k khác 0, không mất tính tổng quát giả sử [TEX]\left| y \right| \ge \left| z \right|;\left| x \right| = m{\rm{ax}}\left\{ {\left| k \right|;\left| x \right|;\left| y \right|;\left| z \right|} \right\} \Rightarrow \left| k \right| \le 2[/TEX]
Xét |k|=1, nếu |z|=1 suy ra
[TEX]\left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = \left| y \right|\\\left| x \right| = 1 + \left| y \right|\end{array} \right.[/TEX]
Với |x|=|y|
ta có
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}x + k = yz\\y + z = kx\end{array} \right. \to \left| {x + k} \right| = \left| y \right|\left| z \right| \to \left| {x \pm 1} \right| = \left| x \right|\left( {loai} \right)[/TEX]
Với [TEX]\left| x \right| = 1 + \left| y \right| \to \left| {x \pm 1} \right| = \left| x \right| - 1 \to \left| x \right| = 1 \to y = 0\left( {loai} \right)[/TEX]
Nếu [TEX]\left| z \right| \ge 2 \Rightarrow \left| z \right| = 2;\left| y \right| = 2 \vee \left| y \right| = 3[/TEX]
Với |y|=|z|=2 ,do k khác 0 nên y=z=2 suy ra x=2 hoặc y=z=-2 (loại)
với |y|=3;|z|=2 từ [TEX]\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| + \left| k \right| \ge \left| y \right|\left| z \right|\\\left| y \right| + \left| z \right| \ge \left| k \right|\left| x \right|\end{array} \right. \to \left| x \right| = 5 \to \left| {y + z} \right| = 5[/TEX] do đó y=3;z=2 suy ra x=5 hoặc y=-3;z=-2 (loại)
Nếu [TEX]\left| k \right| \ge 2[/TEX] do [TEX]\left| x \right| = m{\rm{ax}}\left\{ {\left| k \right|;\left| x \right|;\left| y \right|;\left| z \right|} \right\}[/TEX] nên |k|=2 và |x|=|y|=|z|
[TEX]\left| {xyz} \right| = {\left| x \right|^3} \ge {\left| x \right|^2} + 2\left| x \right| \ge \left| {{x^2} + y + z} \right[/TEX] ( do [TEX]\left| x \right| \ge 2[/TEX]) dấu bằng khi x=y=z=2
KL:[TEX]\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;a; - a} \right);\left( {a; - {a^2};0} \right);\left( {a;0; - {a^2}} \right);\left( { - {a^2};a; - a} \right);\left( {5;2;3} \right);\left( {5;3;2} \right);\left( {2;2;2} \right)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
)