R
riverflowsinyou1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trong những kì thi vào chuyên toán, những kì thi HSG thì bất đẳng thức là 1 phần rất khó và được rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh quan tâm đến. Những năm gần đây thì các kì thi đều có xu hướng không ra những bài BĐT đối xứng nữa, mà thay vào đó là những BĐT với rất nhiều điều kiện cũng như thứ tự giữa các biến. Hôm nay mình xin phép được trình bày về 1 phương pháp giải các dạng BĐT này, đó là phép nhóm Abel .
1) Phép nhóm Abel.
Cho 2 dãy số thức $a_1,a_2,..,a_n$ và $b_1,b_2,..,b_n$ và kí hiệu :
$S_k=b_1+b_2+...+b_k$. Khi đó ta có :
$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=(a_1-a_2)S_1+(a_2-a_3)S_2+...+(a_{n-1}-a_n)S_{n-1}+a_nS_n$
2 trường hợp thường dùng :
$a_1b_1+a_2b_2=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1+b_2)$
$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)$
2) 1 số ví dụ .
Bài toán 1: Với $0<a$ \leq $b$ \leq $c$ và $abc$ \leq $6$. C/m
$a+b+c$ \leq 6
Ta có $6=1+2+3=a.(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{3}{a})+(b-a)(\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(c-b)\frac{3}{c}$ \Rightarrow $6$ \geq $3.a.\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+2(b-a).\sqrt{\frac{6}{ab}}+(c-b).\frac{3}{c}$ \geq $a+b+c$
Ta rút ra phương pháp :
Bước 1:Xác định dấu đẳng thức xảy ra khi nào bằng cách chuyển các điều kiện đã cho thành đẳng thức
Bước 2:Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế
Bước 3:Áp dụng phép nhóm Abel cho 1 vế của 1 BĐT theo điều kiện thứ tự
Bài toán 2: Cho $0<x<y$ \leq $z$ \leq $1$ và $3x+2y+z=4$. Tìm Min của
$H=3x^2+2y^2+z$ ( Đề hsg Hồ Chí Minh năm $2007$ )
Áp dụng phép nhóm Abel:
$H=z.z+2y.y+3x.x=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(x+2y+3z)$ \leq $(z-x)+3(y-x)+4x=z+2y+x=\frac{1}{3}(3z+6y+3x)=\frac{1}{3}((z+2y)2+z+2y+3x]=\frac{1}{3}(2z+4y+x+2y+3z)$ \leq $\frac{10}{3}$
Bài toán 3: Cho $a,b>0$ sao cho $a$ \leq $b$ \leq $3$ và $a+b$ \leq $5$ tìm GTLN của biểu thức : $A=a^2(a+1)+b^2(b+1)$
Ta sẽ định hướng chứng minh như sau ( trứơc tiên phải chọn điểm rơi)
$A$ \leq $2^2+2^3+3^2+3^3$ \Leftrightarrow $(3^3-b^3)+(3^2-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-a^2)$\geq $0$
Sau 1 phân tích thành nhân tử ta được :
$(3^3-b^3)+(3^2-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-a^2)=(3-b)[b^2+3b+9-a^2-a2-4]+(3-b)[3+b-2-a]+(5-a-b)(a^2+a2+4+5-a-b)(a+2)$ \geq $0$
Bài toán 4: Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=0$ , $x$ \geq $5$ $x+y$ \geq $8$
C/m $xyz$ \leq $15$
Giả sử $xyz$>$15$ ta có $z=9-x-y$ \leq $1$ \Rightarrow $xy$>$\frac{15}{z}$ \geq $15$
Áp dụng phép nhóm Abel và BĐT $AM-GM$
$x+y+z=\frac{5}{5}.x+\frac{3}{3}.y+z=2.\frac{x}{5}+2(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z$ \geq $2.\frac{x}{5}+4.\sqrt{\frac{xy}{15}}+3.\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}>2+4+3=9$
Mâu thuẫn \Rightarrow $xyz$ \leq $15$
Bài toán 5*: Giả sử $a,b,c>0$ sao cho $a$ \leq $b$ \leq $3$ \leq $c$, $c$ \geq $b+1$, $a+b$ \geq $c$. Tìm Min của :
$A=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ ( Đề thi vào KHTN 2012)
Ta sẽ thu gọn :
$A=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{c+1}$
Dự đoán điểm rơi tại $a=1=b-1=c-2$ \Rightarrow $A=\frac{5}{12}$
Ta có $0,75-\frac{c}{1+c}+\frac{b}{1+b}-\frac{2}{3}+\frac{a}{1+a}-0,5$
\Leftrightarrow $\frac{3-c}{4(1+c)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{a-1}{2a+2}$ \geq $0$
Áp dụng phép nhóm Abel và biến đổi tương đương ta có :
$\frac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(b-c+1)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2a+2}$ \geq $0$ ( đúng )
\Rightarrow $Min_A=\frac{5}{12}$ \Leftrightarrow $a=1,b=2,c=3$.
3) Bài tập :
*) Với $a,b,c>0$ thoả mãn c \geq 2 $a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}$ \geq 3, $\frac{b}{2}+c$ \geq 2, $\frac{3}{c}$ \geq 1. Tìm Max của :
$M=c^2-a^2-b^2$.
**) Với $a$ \leq $b$ \geq $1$ \geq $c>0$,$\frac{2}{b}+c$ \leq $2$ , $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c$ \leq $3$. C/m
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{5}$
1) Phép nhóm Abel.
Cho 2 dãy số thức $a_1,a_2,..,a_n$ và $b_1,b_2,..,b_n$ và kí hiệu :
$S_k=b_1+b_2+...+b_k$. Khi đó ta có :
$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=(a_1-a_2)S_1+(a_2-a_3)S_2+...+(a_{n-1}-a_n)S_{n-1}+a_nS_n$
2 trường hợp thường dùng :
$a_1b_1+a_2b_2=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1+b_2)$
$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)$
2) 1 số ví dụ .
Bài toán 1: Với $0<a$ \leq $b$ \leq $c$ và $abc$ \leq $6$. C/m
$a+b+c$ \leq 6
Ta có $6=1+2+3=a.(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{3}{a})+(b-a)(\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(c-b)\frac{3}{c}$ \Rightarrow $6$ \geq $3.a.\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+2(b-a).\sqrt{\frac{6}{ab}}+(c-b).\frac{3}{c}$ \geq $a+b+c$
Ta rút ra phương pháp :
Bước 1:Xác định dấu đẳng thức xảy ra khi nào bằng cách chuyển các điều kiện đã cho thành đẳng thức
Bước 2:Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế
Bước 3:Áp dụng phép nhóm Abel cho 1 vế của 1 BĐT theo điều kiện thứ tự
Bài toán 2: Cho $0<x<y$ \leq $z$ \leq $1$ và $3x+2y+z=4$. Tìm Min của
$H=3x^2+2y^2+z$ ( Đề hsg Hồ Chí Minh năm $2007$ )
Áp dụng phép nhóm Abel:
$H=z.z+2y.y+3x.x=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(x+2y+3z)$ \leq $(z-x)+3(y-x)+4x=z+2y+x=\frac{1}{3}(3z+6y+3x)=\frac{1}{3}((z+2y)2+z+2y+3x]=\frac{1}{3}(2z+4y+x+2y+3z)$ \leq $\frac{10}{3}$
Bài toán 3: Cho $a,b>0$ sao cho $a$ \leq $b$ \leq $3$ và $a+b$ \leq $5$ tìm GTLN của biểu thức : $A=a^2(a+1)+b^2(b+1)$
Ta sẽ định hướng chứng minh như sau ( trứơc tiên phải chọn điểm rơi)
$A$ \leq $2^2+2^3+3^2+3^3$ \Leftrightarrow $(3^3-b^3)+(3^2-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-a^2)$\geq $0$
Sau 1 phân tích thành nhân tử ta được :
$(3^3-b^3)+(3^2-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-a^2)=(3-b)[b^2+3b+9-a^2-a2-4]+(3-b)[3+b-2-a]+(5-a-b)(a^2+a2+4+5-a-b)(a+2)$ \geq $0$
Bài toán 4: Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=0$ , $x$ \geq $5$ $x+y$ \geq $8$
C/m $xyz$ \leq $15$
Giả sử $xyz$>$15$ ta có $z=9-x-y$ \leq $1$ \Rightarrow $xy$>$\frac{15}{z}$ \geq $15$
Áp dụng phép nhóm Abel và BĐT $AM-GM$
$x+y+z=\frac{5}{5}.x+\frac{3}{3}.y+z=2.\frac{x}{5}+2(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z$ \geq $2.\frac{x}{5}+4.\sqrt{\frac{xy}{15}}+3.\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}>2+4+3=9$
Mâu thuẫn \Rightarrow $xyz$ \leq $15$
Bài toán 5*: Giả sử $a,b,c>0$ sao cho $a$ \leq $b$ \leq $3$ \leq $c$, $c$ \geq $b+1$, $a+b$ \geq $c$. Tìm Min của :
$A=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ ( Đề thi vào KHTN 2012)
Ta sẽ thu gọn :
$A=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{c+1}$
Dự đoán điểm rơi tại $a=1=b-1=c-2$ \Rightarrow $A=\frac{5}{12}$
Ta có $0,75-\frac{c}{1+c}+\frac{b}{1+b}-\frac{2}{3}+\frac{a}{1+a}-0,5$
\Leftrightarrow $\frac{3-c}{4(1+c)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{a-1}{2a+2}$ \geq $0$
Áp dụng phép nhóm Abel và biến đổi tương đương ta có :
$\frac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(b-c+1)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2a+2}$ \geq $0$ ( đúng )
\Rightarrow $Min_A=\frac{5}{12}$ \Leftrightarrow $a=1,b=2,c=3$.
3) Bài tập :
*) Với $a,b,c>0$ thoả mãn c \geq 2 $a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}$ \geq 3, $\frac{b}{2}+c$ \geq 2, $\frac{3}{c}$ \geq 1. Tìm Max của :
$M=c^2-a^2-b^2$.
**) Với $a$ \leq $b$ \geq $1$ \geq $c>0$,$\frac{2}{b}+c$ \leq $2$ , $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c$ \leq $3$. C/m
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{5}$