[toán 9] ôn tập tổng hợp

[nhockthongay_girlkute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 giải hệ phương trình
[TEX]\left{\begin{x^3+2xy^2+12y=0}\\{x^2+8y^2=12}[/TEX]
bài 2
cho x;y;z;t là các số ương có tổng bằng 2
tìm MIN của biểu thức
[TEX]P=\frac{(x++y+z)(x+y)}{xyzt}[/TEX]
bài 3 . cho tam giác ABC nhọn .Tìm trong tam giác điểm M sao cho MA+MB+MC đạt GTNN
bài 4 .Trên mặt phẳng cho 2009 điểm .Cứ 3 điểm bất kì tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 .Chứng minh rằng tồn tại 1 đường tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 2005 điểm
bài 5. cho tích 2 số tự nhiên bằng [TEX]2003^{2004}[/TEX] . Hỏi tổng của chúng có chia hết cho 2004 không ?
bài 6 . tìm tất cả các số nguyên x sao cho [TEX]2x^2-x-36[/TEX] là bình phương của 1 số nguyên tố
bài 7
cho [TEX]f(x)=ax^2+bx+c[/TEX] vs a,b,c nguyên sao cho a>0 và ft có 2 nghiệm phân biệt
thuộc khoảng (0;1) . Chứng Minh [TEX]a \ge\ 5[/TEX] . hãy tìm b,c vs a=5
bài 8 .Tìm số nguyên tố n sao cho [TEX]\frac{n^3-1}{5}[/TEX] là số nguyên tố

p/s mọi người chém tự nhiên .Hết mik lại post !!!!

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 1 giải hệ phương trình
[TEX]\left{\begin{x^3+2xy^2+12y=0}(1)\\{x^2+8y^2=12}(2)[/TEX]

sao pic nào mik lập ra cũg ế vậy nhỉ mọi người vô chém đi chứ
mik póc tem vậy
ta thấy y=0 ko phải là nghiệm của hệ phương trình
xét y#0 thế (2) vào (1) ta đc
[TEX]x^3+2xy^2+y(x^2+8y^2)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^3+2xy^2+x^2y+8y^3=0[/TEX]
chia cả 2 vế của pt cho [TEX]y^3[/TEX]
PT\Leftrightarrow[TEX](\frac{x}{y})^3+(\frac{x}{y})^2+\frac{2x}{y}+8= 0[/TEX]

Đặt [TEX]\frac{x}{y}=a[/TEX]
[TEX]a^3+a^2+2a+8=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a+2)(a^2-a+4)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a=-2[/TEX] (vì [TEX]a^2-a+4>0[/TEX])
\Rightarrow[TEX]x=-2y[/TEX] thế vào (2) ta đc
[TEX]12y^2=12[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{y=1 --> x=-2}\\{y=-1 --> x=2}[/TEX]

 

[vnzoomvodoi]

ab= 2003^2004

Nhận xét 2003 là số nguyên tố (tức là chỉ có 2 ước là 2003 và 1), nên có thể viết a+b=2003^k+2003^(2004-k)
Nếu k<1002.
Có: a+b= 2003^k (1+2003^(2004-2k)

2003^k không chia hết cho 3.
2003 đồng dư với 1 mod 3=> 2003^(2004-2k) đồng dư với 1 mod 3=>1+ 2003^(2004-2k) đồng dư với 2 mod 3, không chia hết cho 3.
Suy ra a+b không chia hết cho 3=> không chia hết cho 2004.


Còn một cách nữa hay hơn nhiều (không phải mò )) nhưng mà không phải của mình nên ko post


========================================================================


Gỉa sử a+b chia hết cho 2004=> (a+b)^2 chia hết cho 2004=> a^2 + b^2 +2ab chia hết cho 2004.
2ab chia cho 2004 dư 2
=> a^2 +b^2 +2 chia hết cho 2004
=> a^2 + b^2 +2 chia hết cho 3.
=> a^2 + b^2 đồng dư với 1 mod 3

Mà một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0,1=> a^2 và b^2 có một số chia hết cho 3=> trong a và b có một số chia hết cho 3.
=> ab chia hết cho 3 (vô lí)


Các bạn vào đây nhé: forum.123game.vn

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 4 .Trên mặt phẳng cho 2009 điểm .Cứ 3 điểm bất kì tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 .Chứng minh rằng tồn tại 1 đường tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 2005 điểm

xét tất cae các khoảng cách từ 2 điểm trong các điểm đã cho .Vì số điểm là hữu hạn nên số khoảng cách là hữu hạn.Trong các khoảng cách này tồn tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất
Không mất tính tổng quát ta giả sử AB có độ dài lớn nhất
Khi đó
a, Nếu AB<1 thì ta vẽ đường tròn (A;1) chứa tất cả 2009 điểm đã cho (Đpcm)
b, nếu AB>1 thì ta vẽ (A;1) và (B;1) .ta chứng minh 2009 điểm nằm trong cả 2 đường tròn này
Giả sử ngược lại điểm C ko nằm trong 2 đường tròn này.Ta có
[TEX]AC\ge\ 1;BC\ge\ 1;AB\ge\ 1[/TEX] trái vs giả thiết
vậy điểm C nằm 1 trong 2 đường tròn .đường tròn chứa nhiều điểm hơn trong 2 đường tròn (A;1) và (B;1) là đường tròn cẫn tìm

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 3 . cho tam giác ABC nhọn .Tìm trong tam giác điểm M sao cho MA+MB+MC đạt GTNN
!!!!

tự ra đề tự chém nản quá !!
vẽ 2 tam giác đều AMM' và ABB'
\Rightarrow[TEX]\hat{ B'AM' }=\hat{BAM }[/TEX]( Cùg + vs [TEX]\hat{M'AB}=60^0[/TEX])
\Rightarrow ▲AM'B'=▲AMB(C.G.C)
\RightarrowBM= B'M'
\RightarrowAM+MB=MM'+B'M'
\RightarrowAM+MB+MC=MM'+M'B'+ MC
MÀ [TEX] MM'+B'M'+CM \ge\ B'C [/TEX]
\Rightarrow AM+BM+CM đạt GTNN = B'C
\Leftrightarrow[TEX] M,M' \in\ B'C[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\hat{BMC}=120^0[/TEX]

 

[quyenuy0241]

cho x;y;z;t là các số ương có tổng bằng 2
tìm MIN của biểu thức
[TEX]P=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}[/TEX]

[tex](x+y+z+t)^2 \ge 4t(x+y+z) [/tex]

[tex](x+y+z)^2 \ge 4z(x+y) [/tex]

[tex](x+y)^2 \ge 4xy [/tex]

Nhân các BDT trên với nhau:

[tex]4.(x+y+z)(x+y) \ge 4^3.xyzt \Rightarrow \frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt} \ge 16[/tex]

Dấu "=" xảy ra:
[tex]x=y=\frac{z}{2}=\frac{t}{4} [/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

pic ế post thêm bài để khôi phục lần này cho bài dễ hơn
bài 9
cho x,y,z >0 [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX] CMR
[TEX]\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\ \frac{3sqrt{3}}{2}[/TEX]
bài 10
[TEX]\left{\begin{x,y,z>0}\\{x+y+z=1}[/TEX] CMR
[TEX]xy+yz+zx\le\ \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}[/TEX]
bài 11 [TEX]n \in\ N , n>1[/TEX] thì
[TEX]A=n^4+4^n[/TEX] là hợp số
bài 12
Tại mỗi đỉnh của 1 lúc giác đều có 1 con chim đậu vào .Cùng 1 lúc chúng bay leen và nó lại đầu vào các đỉnh của lúc giác này cùng 1 lúc ( không nhất thiết đậu vào đỉnh ban đầu ).Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim sao cho tam giác mà 3 đỉnh chúng đậu vào ban đầu bằng tam giác mà 3 đỉnh chúng đậu vào về sau

 

[0915549009]

pic ế post thêm bài để khôi phục lần này cho bài dễ hơn
bài 9
cho x,y,z >0 [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX] CMR
[TEX]\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{1-z^2}\ge\ \frac{3sqrt{3}}{2}[/TEX]

Đề này lạ thiệt :|:|:|
[TEX]\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{1-z^2} \geq \frac{9}{3-(x^2+y^2+z^2)} = \frac{9}{2}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

thêm 1 bài
cho [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/TEX]
biết [TEX]f(1)=2006 ; f(2)=4012 ;f(3)=6018[/TEX]
tính [TEX]f(5)+f(-1)[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Đề này lạ thiệt :|:|:|
[TEX]\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{1-z^2} \geq \frac{9}{3-(x^2+y^2+z^2)} = \frac{9}{2}[/TEX]

lạ hả em vậy chị sẽ chứng minh cho em coi
BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow[TEX]\frac{x}{1-x^2}\ge\ \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x\ge\ (1-x^2)3\sqrt{3}x^2=3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x+3\sqrt{3}x^4\ge\ 3\sqrt{3}x^2[/TEX]
ta có [TEX]VT=x+x+3\sqrt{3}x^4\ge\ 3\sqrt[3]{x.x.3\sqrt{3}x^4}=3\sqrt[3]{(\sqrt{3}x^2)^3}=3\sqrt{3}x^2[/TEX]
xây dựng các bđt tương tự ta đc đpcm

 

[0915549009]

pic ế post thêm bài để khôi phục lần này cho bài dễ hơn
bài 10
[TEX]\left{\begin{x,y,z>0}\\{x+y+z=1}[/TEX] CMR
[TEX]xy+yz+zx\le\ \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}[/TEX]

Chém bài dễ nhứt
Đặt [TEX]xy+yz+xz=q; x+y+z=p; xyz=r[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx\le\ \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}\Leftrightarrow 7q \leq 9r+2[/TEX]
Mặt khác:
[TEX]9r\geq4pq-p^3=p(4q-p^2)=4q-1 \Rightarrow 9r+2 \geq 4q+1[/TEX] (Theo Schur)
Cần CM: [TEX]4q+1\geq7q\Leftrightarrow q \leq\frac{1}{3} [/TEX]
Đúng do [TEX]q\leq \frac{p^2}{3}= \frac{1}{3} \Rightarrow dpcm[/TEX]

lạ hả em vậy chị sẽ chứng minh cho em coi
BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow[TEX]\frac{x}{1-x^2}\ge\ \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x\ge\ (1-x^2)3\sqrt{3}x^2=3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x+3\sqrt{3}x^4\ge\ 3\sqrt{3}x^2[/TEX]
ta có [TEX]VT=x+x+3\sqrt{3}x^4\ge\ 3\sqrt[3]{x.x.3\sqrt{3}x^4}=3\sqrt[3]{(\sqrt{3}x^2)^3}=3\sqrt{3}x^2[/TEX]
xây dựng các bđt tương tự ta đc đpcm

Thía thỳ hình như chỵ ghi sai đề rùi, chỵ ak
[TEX]\frac{x}{1-x^2}\ge\ \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 \Leftrightarrow \frac{1}{1-x^2}\ge\ \frac{3\sqrt{3}}{2}x [/TEX]
Chỵ xem lại đề nhaz

 

[bigbang195]

Nhớ mỗi 1 bài hình

Tam giác ABC có r=1 và các đường cao là số nguyên. tính các cạnh của tam giác biết chu vi của nó là 27

 

[nhockthongay_girlkute]

Chém bài dễ nhứt
Đặt [TEX]xy+yz+xz=q; x+y+z=p; xyz=r[/TEX]
[TEX]xy+yz+zx\le\ \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}\Leftrightarrow 7q \leq 9r+2[/TEX]
Mặt khác:
[TEX]9r\geq4pq-p^3=p(4q-p^2)=4q-1 \Rightarrow 9r+2 \geq 4q+1[/TEX] (Theo Schur)
Cần CM: [TEX]4q+1\geq7q\Leftrightarrow q \leq\frac{1}{3} [/TEX]
Đúng do [TEX]q\leq \frac{p^2}{3}= \frac{1}{3} \Rightarrow dpcm[/TEX]

chị làm cách này
áp dụng bổ đề [TEX](x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)\le\ xyz[/TEX] (vs 3 số x+y-z, y+z-x, x+z-y dương )
mà x+y+z=1 nên ta có [TEX](1-2x)(1-2y)(1-2z)\le\ xyz[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]1-(2x+2y+2z)+4(xy+yz+zx)-8xyz\le\ xyz[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]xy+yz+zx\le\ \frac{1}{4}+\frac{9xyz}{4}[/TEX]
ta cần hứng minh
[TEX]\frac{1}{4}+\frac{9xyz}{4}\le\ \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\frac{2}{7}-\frac{1}{4}\ge\ (\frac{9}{4}-\frac{9}{7})xyz[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac {1}{28}\ge\ \frac{27}{28}xyz[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]1\ge\ 27xyz[/TEX] (đúng theo bđt cauchy 3 số )
\Rightarrow đpcm

 

[girlkute_nhockthongay]

bài 12
Tại mỗi đỉnh của 1 lúc giác đều có 1 con chim đậu vào .Cùng 1 lúc chúng bay leen và nó lại đầu vào các đỉnh của lúc giác này cùng 1 lúc ( không nhất thiết đậu vào đỉnh ban đầu ).Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim sao cho tam giác mà 3 đỉnh chúng đậu vào ban đầu bằng tam giác mà 3 đỉnh chúng đậu vào về sau

vì 2 tam giác vuông bất kì chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác đều thì bằng nhau
Ta xét 2 con chim chẳng hạn là A&D đậu ở 2 đỉnh đối xứng nhau qua tâm O của lục giác đều , giả sử lần thứ 2 lần chúng đậu xuống
- 2 đỉnh đối xứng nhau qua tâm của lục giác đều thì 2 con chim này vs con chim bất kì là 3 con chim cần tìm
- 2 con chim A&D đậu xuống 2 đỉnh ko đối xứng nhau .Khi đó ta chọn con con chim C đậu đối xứng vs con chim D qua tâm thì 3 con chim A , C, D là 3 con chim cần tìm

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 11 [TEX]n \in\ N , n>1[/TEX] thì
[TEX]A=n^4+4^n[/TEX] là hợp số

đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm nay
nếu n chẵn \Rightarrow[TEX]n^4+4^2\vdots\ 2[/TEX] mà [TEX]n^4+4^n > 2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]n^4+4^n [/TEX] là hợp số
nếu n lẻ , đặt n=2k+1 [TEX]k>0 , k\in\ Z[/TEX]
\Rightarrow[TEX]n^4+4^n=(n^2)^2+4^{2k+1}[/TEX]
[TEX] =(n^2)^2+(2^{2k+1})^2[/TEX]
[TEX] =(n^2)^2+(2^{2k+1})^2+2n^2.2^{2k+1}-2n^2.2^{2k+1}[/TEX]
[TEX] =(n^2+2^{2k+1}^2-4n^2.2^{2k+1}[/TEX]
[TEX] =(n^2+2^{2k+1}^2-(n.2^{2k+1})^2[/TEX]
[TEX] =(n^2+2^{2k+1}-n.2^{2k+1})(n^2+2^{2k+1}+n.2^{2k+1})[/TEX] (1)
vs n>1 , K>0 \Rightarrow[TEX]n.2^{2k+1}>1[/TEX] (2)
ta sẽ chứng minh
[TEX]n^2+2^{2k+1}-n.2^{2k+1}>1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]n^2-2.2^k.2+2^{2k}+2^{2k+1}-2^{2k}>1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](n-2^k)^2+2^{2k}>1 [/TEX] (*)
do k>0 , k nguyên nên (*) đúng
\Rightarrow[TEX]n^2+2^{2k+1}-2.2^{2k+1}>1[/TEX]
từ (1), (2), (3) ta có đpcm

 

[phuthanhdl0406]

vì 2 tam giác vuông bất kì chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác đều thì bằng nhau
Ta xét 2 con chim chẳng hạn là A&D đậu ở 2 đỉnh đối xứng nhau qua tâm O của lục giác đều , giả sử lần thứ 2 lần chúng đậu xuống
- 2 đỉnh đối xứng nhau qua tâm của lục giác đều thì 2 con chim này vs con chim bất kì là 3 con chim cần tìm
- 2 con chim A&D đậu xuống 2 đỉnh ko đối xứng nhau .Khi đó ta chọn con con chim C đậu đối xứng vs con chim D qua tâm thì 3 con chim A , C, D là 3 con chim cần tìm

bài này dùng phép quay là xong, sử dụng phép quay chứng mình dc tam giác mà 3 con chim đã bay tạo dc bằng tam giác ban đầu!

 

[girlkute_nhockthongay]

bài này dùng phép quay là xong, sử dụng phép quay chứng mình dc tam giác mà 3 con chim đã bay tạo dc bằng tam giác ban đầu!

bạn có thể trình bày rõ hơn đc ko thanks !!!________^^

 

[girlkute_nhockthongay]

mik có 2 bài suy luận logic mọi người cùng làm nha
bài 1
trên mặt phẳng cho 2010 điểm cứ 3 điểm bất kì trong chúng lập thành 1 tam giác có diẹn tích nhỏ hơn 1 .Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có diện tích bằng 4 chứa tất cả 2010 điểm đã cho ở bên trong
bài 2
Ở 1 nước nọ có 100 sân bay .Từ mỗi sân bay , máy bay cất cánh và bay tới sân bay gần nhất ( khoảng cách 2 sân bay bất kì đều khác nhau ) .Chứng minh rằng tại mõi sân bay không thể có quá 5 máy bay cùng đến

 

[nhockthongay_girlkute]

mik có 2 bài suy luận logic mọi người cùng làm nha
bài 1
trên mặt phẳng cho 2010 điểm cứ 3 điểm bất kì trong chúng lập thành 1 tam giác có diẹn tích nhỏ hơn 1 .Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có diện tích bằng 4 chứa tất cả 2010 điểm đã cho ở bên trong

xét tất cả các tam giác nối từ 3 điểm trong 2010 điểm đã cho .Vì số điểm là hữu hạn nên số tam giác là hữu hạn
Giả sử tam giác ABC là tam giác có diện tích lớn nhất nhưng vẫn thoả mãn S<1
Từ A , B, C kẻ các đường thẳng lần lượt song song vs BC, AB , AC
\Rightarrow [TEX]S_{A'B'C'}=4S_{ABC}[/TEX]\Rightarrow[TEX]S_{A'B'C'}<4[/TEX]
ta chứng minh tất cả các điểm đã cho hoặc nằm trong ▲A'B'C hoặc nằm trên các cạnh của ▲A'B'C'
thật vậy giả sử ngược lại điểm M nằm ngoài ▲A'B'C
khi đó [TEX]S_{MBC}>S_{ABC}[/TEX] trái vs giả thiết cách chọn ▲ABC là ▲ có diện tích lớn nhất.Vậy điều giả sử là vô lí \Rightarrow đpcm
Chỉ cần mở rộng các cạnh của ▲A'B'C thành ▲A"B"C" sao cho [TEX]S_{A"B"C"}=4[/TEX] đó là tam giác cần tìm

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 2
Ở 1 nước nọ có 100 sân bay .Từ mỗi sân bay , máy bay cất cánh và bay tới sân bay gần nhất ( khoảng cách 2 sân bay bất kì đều khác nhau ) .Chứng minh rằng tại mõi sân bay không thể có quá 5 máy bay cùng đến

Giả sử có 1 sân bay O bất kì trong số các sân bay đã cho , có K máy bay bay đến O vs K nguyên , [TEX]K\ge\ 6[/TEX].Coi mỗi sân bay là 1 điểm , ta đc các tia gốc O là [TEX]OA_1;OA_2, ....OA_k[/TEX] trong đó [TEX]A_1;A_2;A_3;A_4;.....;A_k[/TEX] là các sân bay có máy bay bay đến O
ta sắp xếp các tia theo cùng chiều kim đồng hồ theo thứ tự [TEX]OA_1;OA_2;...OA_k[/TEX]
khi đó ta có [TEX]\hat{ A_1OA_2}+\hat{ A_2OA_3}+....+\hat{ A_kOA_1}=360^0[/TEX](1)
xét [TEX]\triangle\ OA_1A_2[/TEX] có [TEX]A_1A_2[/TEX] là cạnh lớn nhất
\Rightarrow[TEX]\hat{ A_1OA_2}>60^0[/TEX]
chứng minh hoàn toàn tương tự \Rightarrow[TEX]\hat{ A_1OA_2}+\hat{ A_2OA_3}+....+\hat{ A_kOA_1}>360^0[/TEX] (2)
từ (1) và (2) mâu thuẫn .Vậy trên bất kì sân bay nào cũg ko thể có quá 5 máy bay bay đến (đpcm)