[Toán 9] Nỗ lực khôi phục pic Bất đẳng thức (2)

[nguyengiahoa10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic lập ra cho member năm nay thi luyện BĐT-CT, thường thì BĐT-CT trong các kỳ thi vào lớp 10 chuyên thường khá dễ, tuy nhiên cũng không ít bài bài cần đến sự tinh tế trong lối suy nghĩ mới có thể đưa ra 1 lời giải gọn, đẹp mà không dùng kiến thức quá cao. Đề nghị không đưa lên những BĐT quá xa vời, không phù hợp với mức độ thi vào lớp 10 chuyên.

Nỗ lực khôi phục pic Bất đẳng thức (2)

Quyết tâm!

Những phần đã giải rồi sẽ được thay đổi thành màu xanh lá cây, những phần chưa giải sẽ là màu xanh biển. Các bạn chú ý.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ thì:
a) $${a^2}(1 + {b^2}) + {b^2}(1 + {c^2}) + {c^2}(1 + {a^2}) \geq 6abc$$
b) $$2(1 + abc) + \sqrt {2(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + {c^2})} \geq (1 + a)(1 + b)(1 + c)$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền ta luôn có $a^n \geq b^n + c^n$, với $n \in \mathbb{N}$ và $n \geq 2$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số dương $a,b,c$ ta luôn có:
$$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{{c + a}} \leq \dfrac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{a + b + c}}$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 4: Cho $a,b > 0, m \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng:
$${\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)^m} + {\left( {1 + \dfrac{b}{a}} \right)^m} \geq {2^{m + 1}}$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 5: Giả sử $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên $n>1$ thì:
$${a^n}b(a - b) + {b^n}c(b - c) + {c^n}a(c - a) \geq 0$$

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}$$
trong đó các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 7: Cho 3 số thực $x,y,z \geq 0$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 8: Cho 3 số thực $a,b,c$ với $a \geq 2, b \geq 9, c \geq 1945$ và thỏa mãn $a+b+c=2000$. Tìm giá trị lớn nhất của tích $abc$.

 

[nguyengiahoa10]

Bài toán 9: Trong tất cả các nghiệm $(x,y)$ của phương trình $2x+3y=1$ hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3x^2+2y^2$ nhỏ nhất.

 

[quanghao98]

Bài toán 1: a) $a^2(1+b^2)$ + $b^2(1+c^2)$ + $c^2(1+a^2)$ \geq 3$\sqrt[3]{a^2b^2c^2(1+b^2)(1+c^2)(1+a^2)}$ \geq 3$\sqrt[3]{a^2b^2c^2.2b.2c.2a}$=6abc

 

[nghgh97]

Bài toán 9: Trong tất cả các nghiệm $(x,y)$ của phương trình $2x+3y=1$ hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3x^2+2y^2$ nhỏ nhất.

Ta có:
$$2x + 3y = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}(\sqrt 3 x) + \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}(\sqrt 2 y) = 1$$
Theo BĐT Bunhiacopsky:
$${[\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}(\sqrt 3 x) + \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}(\sqrt 2 y)]^2} \leq[{(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }})^2} + {(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }})^2}].[{(\sqrt 3 x)^2} + {(\sqrt 2 y)^2}]$$
$$ \Leftrightarrow 1 \leq [\dfrac{4}{3} + \dfrac{9}{2}].[3{x^2} + 2{y^2}]$$
$$ \Leftrightarrow 3{x^2} + 2{y^2} \geq \dfrac{6}{{35}}$$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 2 y = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 x$
Kết hợp lại ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 2 y = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 x\\
2x + 3y = 1
\end{array} \right.\]
Giải ra tìm được $(x,y)$

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 4: Cho $a,b > 0, m \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng:
$${\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)^m} + {\left( {1 + \dfrac{b}{a}} \right)^m} \geq {2^{m + 1}}$$

Thấy bài 4 này dễ nhất nên chiến trước:

$(1+\dfrac{a}{b})^m + (1+\dfrac{b}{a})^m \ge (2\sqrt{\dfrac{a}{b}})^m + (2\sqrt{\dfrac{b}{a}})^m = 2^m(\sqrt{\dfrac{a}{b}}^m+\sqrt{\dfrac{b}{a}}^m) \ge 2^m.2.(\sqrt{\dfrac{a}{b}}^m.\sqrt{\dfrac{b}{a}}^m) = 2^{m+1}$

 

[1um1nhemtho1]

zzzzz

Bài toán 7: Cho 3 số thực $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$.

Áp dụng BĐT Cauchy có:


$x^{1997}+x + 997 \ge 999\sqrt[999]{x^{1998}}=999x^2$

lại có $\frac{x^2+1}{2} \ge x$
\Rightarrow $x^{1997}+\frac{x^2+1}{2} + 997 \ge x^{1997}+x + 997 \ge 999x^2$
\Leftrightarrow $2x^{1997}+1995 \ge 1997x^2$

tương tự $2y^{1997}+1995 \ge 1997y^2$ và $2z^{1997}+1995 \ge 1997z^2$

\Rightarrow $2(x^{1997}+y^{1997}+z^{1997})+3.1995 \ge 1997(x^2+y^2+z^2)$
\Leftrightarrow $3.1997 \ge 1997(x^2+y^2+z^2)$
\Rightarrow $x^2+y^2+z^2 \le 3$
dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với $a$ là cạnh huyền ta luôn có $a^n \ge b^n + c^n$, với $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 2$.

Bài này chứng minh bằng quy nạp toán học àh ):

-$n=2$. BĐT đúng: $a^2=b^2+c^2$

-giả sử BĐT đúng với $n=k$ tức là $a^k \ge b^k+c^k$
-ta chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$
tức là $a^{k+1} \ge b^{k+1} + c^{k+1}$

có:
$a^k \ge b^k+c^k$
\Leftrightarrow $a^{k+1} \ge ab^k+ac^k > b^{k+1} + c^{k+1}$ (vì $a$ là cạnh huyền nên $a>b$, $a>c$)
tức là BĐT đúng \Rightarrow ...

 

[1um1nhemtho1]

Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}$$
trong đó các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3$.

có $\frac{a}{\sqrt{b}} + a\sqrt{b} \ge 2a$ (Cauchy)
tương tự với $2$ cái kia rồi cộng lại có:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} + a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \ge 2(a+b+c)=6$

có $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2$ (Bunhiacopxki)
lại có $ab+bc+ac \le \frac{(a+b+c)^2}{3}$
\Rightarrow $\frac{(a+b+c)^3}{3} \ge (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2 $
\Leftrightarrow $a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \le 3$
\Rightarrow $\frac{a}{\sqrt{b}}+ \frac{b}{\sqrt{c}}+ \frac{c}{\sqrt{a}} \ge 6- (a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}) \ge 3$
\Rightarrow....