[Toán 9] những bài toán nâng cao

[giang11820]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, giải hệ pt
$y+xy^2=6x^2$

$1+ x^2.y^2 = 5x^2$

2, cho $1<x<2$ Tìm min của bthức

S= $\dfrac{1}{(x-1)^2} + \dfrac{1}{(2-x)^2} + \dfrac{1}{(x-1)(2-x)}$

3, Cho x,y là 2 số tự nhiên khác 0, thỏa mãn $x+y=11$

Tìm max của $S = xy$

4, Tìm m đẻ phương trình có nghiệm duy nhất:

$x^2 - m|x|+m^2 -1 = 0$

 

[lp_qt]

1. Tham khảo tại đây

4. • Nếu $x_0$ là nghiệm của pt thì $-x_0$ cũng là nghiệm của pt

vậy pt có nghiệm duy nhất khi $x_0=-x_0 \Longleftrightarrow x_0=0$

thay $x=0$ vào pt ta được $ m= \pm 1$

• thay $m= \pm 1$ vào giải pt và kl

 

[luongpham2000]

$1. \left\{\begin{matrix}
y+xy^2=6x^2~^{(1)}\\
1+x^2.y^2+5x^2=0~^{(2)}
\end{matrix}\right.$
$-~x=0$ thì từ $^{(1)}\rightarrow y=0$ (không thỏa mãn điều kiện $^{(2)}$)
$\rightarrow$ Chia 2 pt cho $x^2~(\neq 0)$, ta có hệ tương đương:
$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{y^2}{x}=6\\
\\
\dfrac{1}{x^2}+y^2+5=0
\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(\dfrac{y}{x})(\dfrac{1}{x}+y)=6\\
\\
(\dfrac{1}{x}+y)^2-2(\dfrac{y}{x})+5=0
\end{matrix}\right.$
Đặt $u=\dfrac{1}{x}+y;v=\dfrac{y}{x}$, ta có hệ sau:
$\left\{\begin{matrix}
u.v=6\\
u^2-2v+5=0
\end{matrix}\right.$
Rút $v=\dfrac{6}{u}$, thay pt trên với dưới, ta có pt:
$u^3+5u-12=0$
Tự tính pt này ngoài máy tính casio là xong ^^

$3.$ Ta có $(x+y)^2 = x^2 + 2.xy + y^2 = 121$
Theo BĐT Cô-si: $x^2 + y^2 > 2xy$
$\rightarrow (x+y)^2 > 4xy \rightarrow xy < \dfrac{121}{4}$
Vì $x,y$ là hai số tự nhiên do đó $xy$ phải nguyên nên $xy< 30$ . Ta thấy cặp số $(5;6)$ thoả mãn đề bài . Suy ra $MAX~xy = 30$

 

[eye_smile]

2,Đặt $a=x-1;b=2-x$ \Rightarrow $a;b >0$

$S=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{2}{ab}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{3}{ab}$

$ab=(x-1)(2-x) \le \dfrac{(x-1+2-x)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$

\Rightarrow $S \ge 12$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=\dfrac{3}{2}$