[Toán 9] Những bài toán khó

[ducpro98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho đa thức f(x)=x^3-3x^2+5x. Giả sử a là nghiệm của phương trình f(x)=17; b là nghiệm của phương trình f(x)=-11. CHứng minh: a+b=2
2.Chứng minh các số có dạng P=2^2m+2^2004 với m là số nguyên dương không thể là số chính phương.
3.Có tồn tại hay không 3 số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn đẳng thức:
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=0
4. Đặt A=1+2006+2006^2+...+2006^2005
Chứng minh rằng A^2-A chia hết cho 1530
4. Giải hệ phương trình
2x^3+9y^3=(x-y)(2xy+3)
và
x^2-xy+y^2=3
5. Tìm số tự nhiên abcdef sao cho các số: abcdef, bcdef, cdef, def, ef đều là số chính phương (abcdef là số ko phải là 1 tích đâu nha, vì mìh hok bik viết gạch ngang trên đầu ở đâu nên mn thông cảm)
6. Tam giác ABC có góc A không nhọn, BC=a, AC=b, AB=c
Tìm min của P= (1+ \frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})
7.

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzz

1. Cho đa thức f(x)=x^3-3x^2+5x. Giả sử a là nghiệm của phương trình f(x)=17; b là nghiệm của phương trình f(x)=-11. CHứng minh: a+b=2

theo đề thì $a^3-3a^2+5a=17$ và $b^3-3b^2+5b=-11$
đặt $a=c+1; b=d+1$
Lúc đó $2$ phương trình trên trở thành:
$c^3+2c=14$ và $d^3+2d=-14$
\Rightarrow $c^3+d^3+2c+2d=0$ \Leftrightarrow $(c+d)(c^2-cd+d^2+2)=0$
\Rightarrow $c+d = 0$ \Rightarrow $a+b=2$

 

[1um1nhemtho1]

3.Có tồn tại hay không 3 số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn đẳng thức:
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=0

giả sử tồn tại $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn đẳng thức thì:
$a \ne b; b \ne c; c \ne a$
$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=0$. Đặt $a-b=x ; b-c=y; c-a= z$
thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=0 \\x+y+z=0 \end{matrix}\right.$ \Rightarrow $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=0 \\(x+y+z)^3=0 \end{matrix}\right.$
\Rightarrow $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+z^3=0 \\x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)=0 \end{matrix}\right.$
\Rightarrow $(x+y)(y+z)(x+z)=0$
\Rightarrow $x=-y$ hoặc $y=-z$ hoặc $x=-z$
\Leftrightarrow $a-b=c-b$ hoặc $b-c=a-c$ hoặc $a-b=a-c$
\Leftrightarrow $a=c$ hoặc $b=a$ hoặc $b=c$ ( trái với điều giả sử)
tức là không tồn tại $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn đăng thức