[Toán 9] Những bài toán hình hay và khó

[annaanny]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). I và J theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC, BD.
CMR: AC + BD + 2IJ< AB + BC + CD + DA
2) Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạch. Trên BC lấy M sao cho BM = BA. Trên CB lấy N sao cho CN = CA. D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB.
CRM
a)NE = MF
b) Tam giác MON cân.

 

[hoangtubongdem5]

1)Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). I và J theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC, BD.
CMR: AC + BD + 2IJ< AB + BC + CD + DA

Không chứng minh một nhận xét đơn giản nhé: "Trong một tứ giác, tổng các độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng các độ dài hai cạnh đối và nhỏ hơn chu vi." Trở lại bài toán, có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: ABCD là hình bình hành. Vì ABCD là hình bình hành nên I trùng J.

Theo nhận xét trên, [TEX]AC +BD +2IJ=AC+BD<AB+BC+CD+DA.[/TEX]

Trường hợp 2: ABCD không là hình bình hành. Vì ABCD không là hình bình hành nên tồn tại 1 cặp đối không song song. Đặt E là giao điểm của AB

và CD. Không mất tính tổng quát, giả sử E thuộc tia đối của các tia AB, DC

Ta có: [TEX](\hat{DAB} + \hat{ABC})+(\hat{BCD} + \hat{CDA}) = 360^o \Rightarrow \hat{DAB} + \hat{ABC} \geq 180^o[/TEX]

hoặc [TEX]\hat{BCD} + \hat{CDA} \geq 180^o[/TEX]

Không mất tính tổng quát, giả sử : [TEX]\hat{DAB} + \hat{ABC} \geq 180^o[/TEX] (1)

Dựng hình bình hành ABCF. Từ (1), ta thấy: tia AF nằm trong (2)

Mặt khác, trong [TEX]\Delta{EBC}[/TEX], ta có: [TEX]\hat{EBC} + \hat{ECB} \leq 180^o[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] ị tia CD nằm trong từ (2) và (3) [TEX]\Rightarrow[/TEX] Tứ giác ACFD lồi. Theo nhận xét trên, ta có : [TEX]AC+DF<AF+CD.[/TEX] Chú ý rằng

[TEX]DF=2IJ, AF= BC[/TEX], ta có : [TEX]AC + 2IJ < BC + CD[/TEX] (4) Trong [TEX]\Delta{ABD}[/TEX], ta có : [TEX]BD<AB+DA[/TEX] (5). Từ (4) và

(5) [TEX]\Rightarrow [/TEX] đpcm

 

[nhuquynhdat]

Bài 2

a)O cách đều 3 cạnh của tam giác $\Longrightarrow$ O là giao điểm của 3 đường phân giác trong $\Longrightarrow OF=OD \Longrightarrow BF=BD$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta MBF$ có:

$\widehat{B}$ chung; $AB=BM(gt); BD=BF$

$\Longrightarrow \Delta ABD=\Delta MBF(c-g-c) \Longrightarrow AD=MF$

Tương tự CM: $\Delta ACD=\Delta NCE(c-g-c) \Longrightarrow AD=NE$

$\Longrightarrow NE=MF$

b) Xét $\Delta OEN$ và $\Delta OFM$ có:

$OE=OF; EN=FM$ (1)

Từ $\Delta ABD=\Delta MBF \Longrightarrow \widehat{ADB}=\widehat{MFB}$

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADO}=\widehat{MFO}+ \widehat {MFB}(=90^o) \Longrightarrow \widehat{ADO}=\widehat{MFO}$

Tương tự CM: $\widehat{ADO}=\widehat{OEN}$

$\Longrightarrow \widehat{MFO}=\widehat{OEN}$(2)

Từ (1) và (2) $\Longrightarrow \Delta OEN=\Delta OFM(c-g-c) \Longrightarrow ON=OM \Longrightarrow \Delta OMN$ cân tại O