Toán [Toán 9] Nâng cao

[zidokid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cảm ơn mọi người!!

 

[Thánh Lầy Lội]

giải bài nào hả bạn???

 

[thangdatle]

Uk bài nào thế chứ chẳng lẽ giải cả đề sao

 

[Ann Lee]

View attachment 45591
cảm ơn mọi người!!

Bài 1:
[tex]\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}=\frac{\sqrt{4(x-2011)}-2}{2(x-2011)}\leq \frac{\frac{4+x-2011}{2}-2}{2(x-2011)}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}=\frac{\sqrt{4(y-2012)}-2}{2(y-2012)}\leq \frac{\frac{4+y-2012}{2}-2}{2(y-2012)}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{\sqrt{4(z-2013)}-2}{2(z-2013)}\leq \frac{\frac{4+z-2013}{2}-2}{2(z-2013)}=\frac{1}{4}[/tex]
Suy ra: $\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}$[tex]\leq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại x=2015;y=2016;z=2017

Bài 2:
Áp dụng BĐT phụ [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=a.(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})+b.(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c

Bài 4:
[tex]\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}[/tex] [tex]\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{\frac{(x+y)^{2}}{2}}=\frac{6}{(x+y)^{2}}=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

Bài 5:
[tex]x^{4}+y^{4}=1\Rightarrow x^{4}\leq 1;y^{4}\leq 1\Rightarrow -1\leq x;y\leq 1\Rightarrow x^{2}\geq x^{3};y^{2}\geq y^{3}[/tex]
Lại có: [tex]x^{3}+y^{3}=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow (x^{2}-x^{3})+(y^{2}-y^{3})=0[/tex]
Vì [tex]x^{2}-x^{3}\geq 0;y^{2}-y^{3}\geq 0\Rightarrow x^{2}=x^{3};y^{2}=y^{3}[/tex]
Dễ rồi :3
#bone: chăm :v

 

[thangdatle]

Câu 1/ [tex]\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}[/tex]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2011}=a\\\sqrt{y-2012}=b \\\sqrt{z-2013}=c \end{matrix}\right.[/tex]
Thì ta có:
[tex]\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1-\frac{4a-4}{a^2}+1-\frac{4b-4}{b^2}+1-\frac{4c-4}{c^2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a-2)^2}{a^2}+\frac{(b-2)^2}{b^2}+\frac{(c-2)^2}{c^2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a=b=c=2[/tex]
Câu 5/ Dễ thấy [tex]-1\leq x,y\leq 1[/tex]
[tex]\Rightarrow (x-1),(y-1)\leq 0[/tex]
Ta lạ có:
[tex]x^2(x-1)+y^2(y-1)\leq 0[/tex]
Dấu = xảy ra khi .....
Bài 6/a/ Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=m\\\sqrt[3]{y}=n \\\sqrt[3]{a}=p \end{matrix}\right.[/tex]
Thì ta có:
[tex]\sqrt{m^6+m^4n^2}+\sqrt{n^6+n^4m^2}=p^3[/tex]
Cần chứng minh [tex]n^2+m^2=p^2[/tex]
Theo giải thuyết ta có:
[tex]n^2\sqrt{n^2+m^2}+m^2\sqrt{n^2+m^2}=p^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{(n^2+m^2)^3}=a^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow n^2+m^2=p^2[/tex]

 

[thangdatle]

b/ Gợi ý cách làm:
Xét x = 0 thì ....
Xét [tex]x\neq 0[/tex] thì ta chia cho [tex]x^2[/tex] thì được
[tex]x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2+a(x+\frac{1}{x})+b-2=0[/tex]

 

[Mark Urich]

View attachment 45591
cảm ơn mọi người!!

tôi gợi ý câu 6b nhé.
x = 0 ko là nghiệm của pt đc nên chia 2 vế cho x bình, đưa về dạng:[tex]t^{2} + a.t + b - 2 = 0[/tex]
với [tex]t = x + \frac{1}{x}[/tex], tập giá trị của t là |t| >= 2.
như vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt ẩn t trên có nghiệm thỏa |t| >= 2.
ta có: f(-2) = b - 2a + 2
f(2) = b + 2a + 2
f(0) = b - 2
ta sẽ phản chứng, nếu như ngược lại [tex]5(a^{2} + b^{2}) < 4[/tex]
thì suy ra: [tex](b + 2a)^{2} \leq (1^{2} + 2^{2})(a^{2} + b^{2}) = 5(a^{2} + b^{2}) < 4[/tex]
[tex](b - 2a)^{2} \leq (1^{2} + (-2)^{2})(a^{2} + b^{2}) = 5(a^{2} + b^{2}) < 4[/tex]
hay: [tex]-2 < b + 2a < 2[/tex]
[tex]-2 < b - 2a < 2[/tex]
cộng lại có: -2 < b < 2 hay b - 2 < 0
ở trên cũng chính là: 0 < b - 2a + 2 và 0 < b + 2a + 2
tức là ta sẽ có: f(-2) > 0 và f(2) > 0 và f(0) < 0.
điều đó có nghĩa là nếu pt ẩn t trên mà có nghiệm thì -2 và 2 đều nằm ngoài khoảng 2 nghiệm, và do 0 lại nằm trong khoảng 2 nghiệm, nên suy ra các nghiệm đều phải nằm trong khoảng (-2; 2). như vậy pt nếu như có nghiệm thì cũng ko thể thỏa mãn đk trên đc, tức là pt đầu luôn vô nghiệm. mâu thuẫn. vậy suy ra phải có điều ngược lại (dpcm)

 

[mỳ gói]

Bài 1:
[tex]\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}=\frac{\sqrt{4(x-2011)}-2}{2(x-2011)}\leq \frac{\frac{4+x-2011}{2}-2}{2(x-2011)}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}=\frac{\sqrt{4(y-2012)}-2}{2(y-2012)}\leq \frac{\frac{4+y-2012}{2}-2}{2(y-2012)}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{\sqrt{4(z-2013)}-2}{2(z-2013)}\leq \frac{\frac{4+z-2013}{2}-2}{2(z-2013)}=\frac{1}{4}[/tex]
Suy ra: $\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}$[tex]\leq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại x=2015;y=2016;z=2017

Bài 2:
Áp dụng BĐT phụ [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
[tex]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=a.(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})+b.(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c

Bài 4:
[tex]\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}[/tex] [tex]\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{\frac{(x+y)^{2}}{2}}=\frac{6}{(x+y)^{2}}=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

Bài 5:
[tex]x^{4}+y^{4}=1\Rightarrow x^{4}+y^{4}\leq 1\Rightarrow -1\leq x;y\leq 1\Rightarrow x^{2}\geq x^{3};y^{2}\geq y^{3}[/tex]
Lại có: [tex]x^{3}+y^{3}=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow (x^{2}-x^{3})+(y^{2}-y^{3})=0[/tex]
Vì [tex]x^{2}-x^{3}\geq 0;y^{2}-y^{3}\geq 0\Rightarrow x^{2}=x^{3};y^{2}=y^{3}[/tex]
Dễ rồi :3
#bone: chăm :v

bạn ơi mấy bất đẳng thức trong bài 1 và bài 4 mình chưa hiểu lắm.
giải rõ ra giúp mình với.
còn bài giải hệ
tại sao x^4+y^4=1
=>x^4+y^4 < hoặc = 1 nhỉ ?
#An: BĐT ở bài 1 và 4 là BĐT Cauchy nhé bạn.
Còn ở bài hệ thì là do mình gõ nhanh nên nhầm, đã sửa.

 

[Mark Urich]

câu 8:
nếu x hữu tỉ ko nguyên, tức x = a/b với (a, b) = 1, suy ra:
[tex]\frac{a^{2} + ab}{b^{2}} + 6[/tex] chính phương nên trước hết phải có [tex]b^{2} | a(a + b)[/tex]
do a và b ko có thừa số nguyên tố chung, nên a + b phải chia hết cho [tex]b^{2}[/tex]
suy ra ab chia hết cho [tex]b^{2}[/tex], suy ra [tex]a^{2}[/tex] chia hết [tex]b^{2}[/tex]
suy ra a chia hết cho b, vô lý.
Vậy x phải là số nguyên.
bài toán quay về, tìm số nguyên x sao cho [tex]x^{2} + x + 6[/tex] chính phương.
[tex]x^{2} + x + 6 = m^{2}[/tex]
suy ra: [tex](2x + 1)^{2} + 23 = 4m^{2}[/tex]
[tex](2m + 2x + 1)(2m - 2x - 1) = 23[/tex]
đến đây bạn tự giải dễ dàng.

 

[Mark Urich]

câu 7 nó là bất đẳng thức, vế trái >= vế phải. Dấu = xảy ra khi là hình vuông và O là tâm.
bạn thử nghĩ cách c/m xem.

 

[Mark Urich]

Câu cuối: bạn tự vẽ hình.
MD cắt EF tại G.
MD kéo dài cắt đường tròn tại C.
hai tam giác MFG và MCB đồng dạng vì chúng có góc C = góc F, do góc C = góc A và góc F = góc MHE, do bởi các tứ giác nội tiếp.
mà 2 góc MHE và A bằng nhau vì cùng phụ với góc AMH.
như vậy góc MBC phải = 90 độ. Do đó MD luôn đi qua tâm đường tròn là điểm cố định.

- bạn để ý đến các tam giác đồng dạng HEF và CBA, suy ra:
[tex]\frac{HE}{HF} = \frac{CB}{CA}[/tex]
để ý đến các tam giác vuông HMA và HMB có các đường cao HE và HF, nên:
HE.MA = HM.HA
HF.MB = HM.HB
suy ra: [tex]\frac{HE}{HF} = \frac{MB}{MA}.\frac{HA}{HB}[/tex]
lại để ý đến các tam giác đồng dạng đối đỉnh nhau (đỉnh D) trong tứ giác nội tiếp MACB, sẽ có:
[tex]\frac{CB}{MA} = \frac{DC}{DA}, \frac{CA}{MB} = \frac{DC}{DB}[/tex]
hay: [tex]\frac{CB}{CA}.\frac{MB}{MA} = \frac{DC}{DA}.\frac{DB}{DC} = \frac{DB}{DA}[/tex]
từ những cái trên suy ra:
[tex]\frac{CB}{CA} = \frac{MB}{MA}.\frac{HA}{HB}[/tex]
kết hợp lại có:
[tex]\frac{MB^{2}}{MA^{2}} = \frac{DB}{DA}.\frac{HB}{HA}[/tex]
--> dpcm.