[Toán 9] Nâng cao

[zidokid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho biểu thức [tex]S= a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + ac + bd[/tex] trong đó ac + bd = 1.

a) Chứng minh rằng: [tex]S \geq \sqrt{3}[/tex]

b) Tính giá trị của tổng [tex](a+c)^{2}+(b+d)^{2}[/tex] khi biết [tex]S = \sqrt{3}[/tex]

2. Cho a, b > 1. Tìm GTNN của [tex]A = \frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{a-1}[/tex]

3. Tìm GTLN của [tex]B = \frac{\sqrt{x-1}}{x} + \frac{\sqrt{y-2}}{y}[/tex]

4. Cho biểu thức [tex]B = \frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2} - \frac{\sqrt{a-2}}{\sqrt{a}-1} + \frac{1}{\sqrt{a}+2}-1[/tex] . Tìm a để |B| = 1.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1. Cho biểu thức [tex]S= a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + ac + bd[/tex] trong đó ac + bd = 1.

a) Chứng minh rằng: [tex]S \geq \sqrt{3}[/tex]

b) Tính giá trị của tổng [tex](a+c)^{2}+(b+d)^{2}[/tex] khi biết [tex]S = \sqrt{3}[/tex]

2. Cho a, b > 1. Tìm GTNN của [tex]A = \frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{a-1}[/tex]

3. Tìm GTLN của [tex]B = \frac{\sqrt{x-1}}{x} + \frac{\sqrt{y-2}}{y}[/tex]

4. Cho biểu thức [tex]B = \frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2} - \frac{\sqrt{a-2}}{\sqrt{a}-1} + \frac{1}{\sqrt{a}+2}-1[/tex] . Tìm a để |B| = 1.

1.
a) $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge 3ac+3bd=3$ (AM-GM)
$\Rightarrow S\ge \sqrt 3$
b) $S=\sqrt 3\Leftrightarrow a=c;b=d\Rightarrow ac+bd=a^2+b^2=1$
$\Rightarrow (a+c)^2+(b+d)^2=4a^2+4b^2=4$
2.
Ta có: $A=\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}$
Mà $\dfrac{a^2}{a-1}=a-1+\dfrac1{a-1}+2\ge 2+2=4$
Tương tự ta cũng có: $\dfrac{b^2}{b-1}\ge 4$
Suy ra $A\ge 2\sqrt{4.4}=8$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=2$ (TM)
Vậy...
3. ĐK: $x\ge 1;y\ge 2$
$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge 2\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le \dfrac12$
Tương tự: $\dfrac{\sqrt{y-2}}y\le \dfrac{\sqrt 2}4$
Suy ra $B\le \dfrac{2+\sqrt 2}4$
Dấu '=' xảy ra khi $x=2;y=4$ (TM)
Vậy...
4. ĐK: $a\ge 0;a\ne 1$
Ta có:
$B=\dfrac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt a-2}-\dfrac{\color{red}{\sqrt a-2}}{\sqrt a-1}+\dfrac1{\sqrt a+2}-1
\\=\dfrac{3a+3\sqrt a-3-(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)+\sqrt a-1-(a+\sqrt a-2)}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+2)}
\\=\dfrac{3a+3\sqrt a-3-a+4+\sqrt a-1-a-\sqrt a+2}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+2)}
\\=\dfrac{a+3\sqrt a+2}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+2)}
\\=\dfrac{(\sqrt a+1)(\sqrt a+2)}{(\sqrt a-1)(\sqrt a+2)}
\\=\dfrac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1}$
$\Rightarrow |B|=1\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt a+1}{|\sqrt a-1|}=1$
$\Rightarrow \sqrt a+1=|\sqrt a-1|$
$\Leftrightarrow \sqrt a+1=1-\sqrt a$ (vì $\sqrt a+1\ne \sqrt a-1$)
$\Leftrightarrow a=0$ (TM)
Vậy...