[Toán 9]­Nâng cao

[san1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình với giải hệ pt
a) x+y=3
xz+yt=4
x.z^2+y.t^2=6
x.z^3+y.t^3=10


b) x^3-9z^2+27z-27=0
z^3-9y^2+27y-27=0
y^3-9x^2+27x-27=0
~Chú ý cách đặt tiêu đề~
Đã sửa

 

[dthoa]

Giả sử $z$ \leq $0$ từ (2) \Rightarrow $-9y^2+27y-27$ \geq 0
\Leftrightarrow $-9[(y-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}]$ \geq 0 (Vô lí)
\Rightarrow $z>0$ Tương tự $x>0, y>0$
Cộng vế với vế của 3 phương trình ta có: $(x-3)^3+(y-3)^3+(z-3)^3=0$ (*)
- Nếu $x>3$ \Rightarrow $x^3>27$ Từ (1) \Rightarrow $9z^2-27z+27>27$ \Rightarrow $z>3$ Từ (2) \Rightarrow y>3 \Rightarrow Không thỏa mãn (*)
-Tương tự $x<3, y<3, z<3$ cũng không thỏa mãn (*)
- Với $x=y=z=3$ là nghiệm đúng của HPT
Vậy HPT có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (3 ; 3 ; 3)

 

[dthoa]

a) [TEX]\left{\begin{x + y = 3 (1)}\\{xz + yt = 4 (2)}\\{xz^2 + yt^2 = 6 (3)}\\{xz^3 + yt^3 = 10 (4)}[/TEX]
Nếu $z = -t$ thay vào hệ ta có:
[TEX]\left{\begin{x+y=3 (1')}\\{z(x - y) = 4 (2')}\\{z^2(x + y) = 6 (3')}\\{z^(x - y) = 10 (4')}[/TEX]
Từ (1') và (3') \Rightarrow $z^2 = 2$
Từ (2') và (4') \Rightarrow $z^2 = \frac{5}{2}$
\Rightarrow $z \neq - t$ \Rightarrow $z + t \neq 0$ Vì vậy có thể nhân lần lượt Pt (2) và (3) với z + t ta có:
[TEX]\left{\begin{(xz + yt)(z + t) = 4(z + t) }\\{(xz^2 + yt^2)(z + t) = 6(z + t) } [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{xz^2 + yt^2 + zt(x + y) = 4(z + t) }\\{xz^3 + yt^3 + zt(xz + yt) = 6(z + t) } [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{6 + 3zt = 4(z + t)}\\{10 + 4zt = 6(z + t)} [/TEX]
Dễ dàng giải hệ này có:
[TEX]\left{\begin{z + t = 3}\\{zt = 2} [/TEX]
Giải ra : z = 1; t = 2 hoặc z = 2; t = 1
(*) $z = 1; t = 2$ thay vào (1) và (2) giải ra $x = 2; y = 1$
(*) $z = 2; t = 1$ thay vào (1) và (2) giải ra $x = 1; y = 2$
KL : Hệ có 2 nghiệm (x; y; z; t) = (1; 2; 2; 1) và (2; 1; 1; 2)