[Toán 9] Nâng cao hình học

[annaanny]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). I và J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD.
Chứng minh: AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + AD
2)Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạnh. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng
a) NE = MF
b) Tam giác MON cân


@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở, còn lần sau sẽ xóa

 

[hoangthanh197]

xét (O) có AC, AB, BC lần lượt là các tuyết tuyến đôi một cắt nhau.
suy ra: AE = AF, CE = CD, BD= BF.
tam giác ACN cân nên CA= CN [TEX] \Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CN} [/TEX]

\Rightarrow ED// AN. Vậy AEDN là hình thang.

Mà[TEX]\widehat{CAN}=\widehat{ANC}=60^{0}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AEDN[/TEX] là hình thang cân
[TEX]\Rightarrow EN = AD [/TEX]
Chứng minh tương tự ta có: AMDF là hình thang cân

[TEX]\Rightarrow FM = AD [/TEX]
[TEX]\Rightarrow FM = EN [/TEX]

b,Ta có: DN = MD (= AF = AE)
mà OD vuông góc MN nên tam giác MON là tam giác cân tại O.

 

[angleofdarkness]

1/

Trước tiên ta có phát biểu :'' Trong một tứ giác, tổng các độ dài 2 đường chéo lớn hơn tổng các độ dài hai cạnh đối và nhỏ hơn chu vi''

Bài toán có 2 trường hợp xảy ra. ( Bài toán của bạn rơi vào TH2)

Trường hợp 1: $ABCD$ là hình bình hành

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I$ trùng $J$

Theo nhận xét : $AC+BD+2IJ=AC+BD< AB+BC+CD+DA$

Trường hợp 2 :$ABCD$ không là hình bình hành

Vì $ABCD$ không là hình bình hành nên tồn tại một cặp cạnh đối không song song.

Không mất tính tổng quát giả sử $AB$ và $CD$ không song song

Lấy $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$

Không mất tính tổng quát , giả sử $E$ thuộc tia đối của tia $AB$, $DC$

Ta có : $(\widehat{DAB}+\widehat{ABC})+(\widehat{BCD}$ $+\widehat{CDA} )=360^0$

\Rightarrow $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}\ge 180^{0}$ hoặc $\widehat{BCD}+\widehat{CDA}\ge 180^{0}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}\ge 180^{0}$ (1)

Dựng hình bình hành $ABCF$ . Từ (1) ta thấy tia $AF$ nằm trong (2)

Mặt khác trong $\Delta EBC$ , ta có $\widehat{EBC}+\widehat{ECB}\le 180^{0}$

Suy ra tia $CD$ nằm trong (3)

Từ (2)(3) suy ra tứ giác $ACFD$ lồi

Theo nhận xét trên , ta có: $AC+DF< AF+CD$

Chú ý rằng : $DF=2IJ;AF=BC$ ta có : $AC+2IJ< BC+CD$ (4)

Trong tam giác $ABD$ ta có $BD< AB+DA$ (5)

Từ (4)(5) \Rightarrow $AC+BD+2IJ< AB+BC+CD+DA$

P/S: nguồn VMF, có thể tìm hiểu thêm tại đây

 

[angleofdarkness]

Đây là lời giải trên TTT