[Toán 9] Nâng cao, chứng minh đẳng thức???

[phamtriet_a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d >0. chứng minh rằng:
a/(b+c) + b/(c+d) + c/(a+d) + d/(a+b) >= 2
ai chứng minh giúp m vs, tks nhìu

Thầy mình gợi ý là dùng BĐT phụ
1/xy >= 4/(x+y)^2 (x>0,y>0)

 

[braga]

Đây là bất đẳng thức Nesbitt bộ 4 số, có nhiều cách giải, nhưng theo ý của thầy bạn thì
[TEX]VT=\left (\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+d} \right )+\left ( \frac{b}{d+c} +\frac{d}{a+b}\right )[/TEX]

[TEX]=\frac{d(d+a)+c(b+c)}{(b+c)(d+a)}+\frac{b(a+b)+d(c+d)}{(a+b)(c+d)}[/TEX]

Áp dụng BĐT [TEX]\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}[/TEX] Ta được:

[TEX]VT\geq \frac{a^2+ad+bc+c^2}{(a+b+c+d)^2}+4.\frac{b^2+ad+cd+d^2}{(a+b+c+d)^2}[/TEX]
[TEX]\geq 2.\frac{(a+b+c+d)^2+(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}\geq 2[/TEX]

 

[huy14112]

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{d+c}+\dfrac{c}{d+a}+ \dfrac{d}{b+a}$ \geq $\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2}{2(a+b+c+d)}$ (Schwarz)

Lại có:

$2(a+b+c+d)$ \leq $0,5(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ \sqrt{d})^2 $(Cauchy-Schwarz)

nên :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{d+c}+\dfrac{c}{d+a}+ \dfrac{d}{b+a}$ \geq $\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2}{2(a+b+c+d)} $ \geq $ \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2}{0,5(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d})^2}=2 \longrightarrow dpcm$