[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán Toán 9 nâng cao Bất đẳng thức
- Thread starter Nhọ cute
- Ngày gửi
- Replies 15
- Views 957
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
- 24 Tháng ba 2017
- 231
- 193
- 109
- 22
- Ninh Bình
- Trường THPT Kim Sơn B
Bài 1 :
\[\\\frac{1}{a+1}=3-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}-\frac{1}{d+1}\\=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\]
tương tự bạn áp dụng với những cái còn lại rồi nhân vào có
\[\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq 81\sqrt[3]{\frac{(abcd)^3}{((a+1)(b+1)(c+1)(d+1))^3}}=81\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)} \\\Rightarrow \frac{1}{81}\geq abcd\]
dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1/3$
\[2.a,a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq (a+b)ab \\b,\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}\]
Tương tự cộng lại ta có \[VT\leq \frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})=\frac{1}{abc}\]
Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c$
Bài 3 \[\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(y+x)}} \\Bunhia: \frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(y+x)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\]
tương tự cộng lại ta thu được điều cần chứng minh
\[\\\frac{1}{a+1}=3-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}-\frac{1}{d+1}\\=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\]
tương tự bạn áp dụng với những cái còn lại rồi nhân vào có
\[\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq 81\sqrt[3]{\frac{(abcd)^3}{((a+1)(b+1)(c+1)(d+1))^3}}=81\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)} \\\Rightarrow \frac{1}{81}\geq abcd\]
dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1/3$
\[2.a,a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq (a+b)ab \\b,\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}\]
Tương tự cộng lại ta có \[VT\leq \frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})=\frac{1}{abc}\]
Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c$
Bài 3 \[\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(y+x)}} \\Bunhia: \frac{x}{x+\sqrt{(x+z)(y+x)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\]
tương tự cộng lại ta thu được điều cần chứng minh
Last edited:
câu 5 b
dùng bất đẳng thức cosi ngược dấu ta có :
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a-1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
tượng tự ta có :
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3+\frac{a+b+c-ab-bc-ac}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \geq 3[/tex]
dấu = xảy ra khi ...a=b=c=1
Last edited:
Câu 6 ý 2:
gt [tex]\Leftrightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7[/tex]
Đặt [tex]\frac{1}{c}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{3}{a}=z\Rightarrow 2(x+y+z)=7[/tex]
Khi đó C có dạng: [tex]\frac{4}{y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}[/tex]
Áp dụng BĐT Svacxo được [tex]C\geq \frac{(2+3+2)^{2}}{2(x+y+z)}=7[/tex]
Dấu "=" xảy ra .....
Bài 3
2)
a). a^3 + b^3 >= a^2b + 2b^2a
<=> a^3 + b^3 - a^2b - 2b^2a >= 0
<=> a^2 ( a-b) - b^2( a-b) >= 0
<=> (a-b)^2 . (a+b) >= 0 => luôn đúng
b) [tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc} + \frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc} + \frac{1}{c^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]
Ta có:[tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc} \leq \frac{1}{a^{2}b+ab^{2}+abc}\leq \frac{c}{abc(a+b+c)}[/tex] (1)
Tương tự :
[tex]\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{b^{2}c+bc^{2}+abc}\leq \frac{a}{abc(a+b+c)}[/tex] (2)
[tex]\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{c^{2}a+ca^{2}+abc}\leq \frac{b}{abc(a+b+c)}[/tex] (3)
Cộng vế vs vế (1), (2) , (3) => đpcm
2)
a). a^3 + b^3 >= a^2b + 2b^2a
<=> a^3 + b^3 - a^2b - 2b^2a >= 0
<=> a^2 ( a-b) - b^2( a-b) >= 0
<=> (a-b)^2 . (a+b) >= 0 => luôn đúng
b) [tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc} + \frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc} + \frac{1}{c^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}[/tex]
Ta có:[tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc} \leq \frac{1}{a^{2}b+ab^{2}+abc}\leq \frac{c}{abc(a+b+c)}[/tex] (1)
Tương tự :
[tex]\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{1}{b^{2}c+bc^{2}+abc}\leq \frac{a}{abc(a+b+c)}[/tex] (2)
[tex]\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{1}{c^{2}a+ca^{2}+abc}\leq \frac{b}{abc(a+b+c)}[/tex] (3)
Cộng vế vs vế (1), (2) , (3) => đpcm
Bài 7:
Xét k chẵn => A lẻ => A ko chia hết cho 16
Xét k kẻ , phân tích A thành nhân tử ta được A=(k-1)(k+1)(k-3)(k+5)
Vì k lẻ => k-1;k+1;k-3;k+5 chẵn => A chia hết cho 2.2.2.2=16
Vậy k lẻ thì...
Nếu bạn chưa được học BĐT Svacxo thì không sao hết bởi BĐT này không được áp dụng trực tiếp đâu ( mình được học là như vậy). Để sử dụng BĐT này bạn chứng minh thông qua BĐT Bunhia.
Còn về BĐT Cauchy ngược dấu thì bạn chịu khó tìm kiếm ở trên mạng thì đọc sẽ dễ hiểu hơn là mình giải thích và cậu được sử dụng trực tiếp luôn nhé.
Cơ mà giờ đọc kĩ lại thì anh @kingsman(lht 2k2) làm sai mất rồi
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{ab^{2}+b^{2}}{b^{2}+1}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy có [tex]b^{2}+1\geq 2b\Rightarrow \frac{ab^{2}+b^{2}}{b^{2}+1}\leq \frac{ab^{2}+b^{2}}{2b}= \frac{ab+b}{2}\Rightarrow -\frac{ab^{2}+b^{2}}{b^{2}+1}\geq \frac{ab+b}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
Làm tương tự rồi cộng lại là ra đc đpcm
Last edited by a moderator:
rồi rồi ,,,anh là chỗ a+b+c sai ,,đúng phải là 3 ...anh đã sữa ...
còn anh áp dụng luôn bdt ngược đâu nên ko cm ....có chút sai sốt
mong e thông cảm nhé