[Toán 9] Một số bất đẳng thức khó.

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Người sáng chế : D.Grinberg
Cho $a,b,c$ là các số thực dương chứng minh :
$\sum \frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}$ \geq $\sum a$
2) Người sáng chế : Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Hoàng Đức.
Cho $a,b,c>0$ chứng minh : \frac{a}{b}+$\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ \geq $\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
3) Người sáng chế : Võ Quốc Bá Cẩn
Cho $a,b,c>0$ chứng minh :
$\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}+\sqrt{3}.\sum \frac{a+2b}{\sqrt{a^2+2b^2}}$ \geq 13
4) Người sáng chế : Trần Quốc Anh.
Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$ chứng minh :
$\sum \frac{1}{(a+1)^2(b+c)}$ \leq $\frac{3}{8}$
5) Người sáng chế : J.Chen.
Cho $a,b,c>0$ chứng minh :
$\frac{1}{a^a(b+c)}+\frac{1}{b^b(a+c)}+\frac{1}{c^c(a+c)}$ \leq 1,5
6) Người sáng chế :Jack Garfunkel.
Cho $a,b,c>0$ chứng minh :
$\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}$ \leq $\frac{5}{4}.\sqrt{a+b+c}$
Em chỉ đăng ít chừng này .

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Bài này ý tưởng tương tự bài $\sum \dfrac{a^2}{b^2+c^2} \geq \sum \dfrac{a}{b+c}$

Xét hiệu: $\dfrac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}-a=\dfrac{ab(a-b)+ac(a-c)}{b^2+c^2}$

Tương tự cộng từng vế ta được:

$\sum \dfrac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}-\sum =ab(a-b)(\dfrac{1}{b^2+c^2}-\dfrac{1}{a^2+c^2})+ac(a-c)
(\dfrac{1}{b^2+c^2}-\dfrac{1}{a^2+b^2})+bc(b-c)(\dfrac{1}{a^2+c^2}-\dfrac{1}{a^2+b^2})(*)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$ ta thấy $(*)$ đúng

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$