[Toán 9]Một bài CM bất đẳng thức

[trantrongnhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với a,b,c > 0

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{a}{b^4(a+c)} + \frac{a}{c^4(a+b)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{ab^2c}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{abc^2})[/TEX]

[TEX]\frac{a^{k+1}}{b^k} + \frac{b^{k+1}}{c^k} + \frac{c^{k+1}}{a^k} \geq \frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/TEX]

 

[mcdat]

Chứng minh với a,b,c > 0

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{a}{b^4(a+c)} + \frac{a}{c^4(a+b)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{ab^2c}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{abc^2})[/TEX]

[TEX]\frac{a^{k+1}}{b^k} + \frac{b^{k+1}}{c^k} + \frac{c^{k+1}}{a^k} \geq \frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/TEX]

Bài này hay thật.

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{a}{b^4(a+c)} + \frac{a}{c^4(a+b)} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{ab^2c}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{abc^2}) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^4(b+c)}+\frac{1}{b^4(a+c)}+\frac{1}{c^4(a+b)} \geq \frac{a+b+c}{2a^2b^2c^2}[/TEX]

Áp dụng BĐT Bunhiacovsky ta có:

[TEX](\frac{1}{a^4(b+c)}+\frac{1}{b^4(a+c)}+\frac{1}{c^4(a+b)})((b+c)+(c+a)+(a+b)) \geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{a^4(b+c)}+\frac{1}{b^4(a+c)}+\frac{1}{c^4(a+b)} \geq \frac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}{2(a+b+c)a^4b^4c^4} \ (*)[/TEX]

Ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức sau:

[TEX]\frac{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}{2(a+b+c)a^4b^4c^4}\geq \frac{a+b+c}{2a^2b^2c^2} \ (**) \\ (**)\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c) \\ Theo \ Cauchy: \\ a^2b^2+b^2c^2 \geq 2ab^2c \ (1) \\ b^2c^2+c^2a^2 \geq 2abc^2 \ (2) \\ c^2a^2+a^2b^2 \geq 2a^2bc \ (3)[/TEX]

Cộng (1) , (2), (3) ta được (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) ta được đpcm

 

[thancuc_bg]

[TEX]\frac{a^{k+1}}{b^k} + \frac{b^{k+1}}{c^k} + \frac{c^{k+1}}{a^k} \geq \frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/TEX]

lớp 9 mà đã xơi những bài này rùi à,bọn em giỏi đó.bài này cũng may anh đã từng làm.
sử dụng bất đẳng thức Holder.
[TEX](\frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}})(b+a+c)^{k-1}\geq(a+b+c)^k[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/tex]\geq[tex]a+b+c[/TEX]
[TEX](\frac{a^{k+1}}{b^k}+\frac{b^{k+1}}{c^k}+\frac{c^{k+1}}{a^k})^{k-1}(a+b+c)[/tex] \geq[tex](\frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}})^k[/TEX]
từ trên suy ra (đpcm)

 

[quynhdihoc]

C ơi, cái bdt mà C sử dụng là của bọn chuyên đó, cái này k có trong sgk nên phải cm, lâu lắm. Mà hình như cái bdt này có trong quyển sáng tạo bdt, vô cùng khó , còn có cách nào khác không vậy ?

 

[thancuc_bg]

C ơi, cái bdt mà C sử dụng là của bọn chuyên đó, cái này k có trong sgk nên phải cm, lâu lắm. Mà hình như cái bdt này có trong quyển sáng tạo bdt, vô cùng khó , còn có cách nào khác không vậy ?

Cách khác có khi có nhưng C ko đủ trình roài .Bài này hồi trước Chị C cho xem ở sách nào đó nên nhớ thui.

 

[trantrongnhan1]

Vì đây là box của lớp 9 nên chỉ được dùng duy nhất 2 bất bẳng thức là Cô-si và Bunhia
Hơn nữa bài 2 chỉ cần biến đổi đại số là ra mà.

À bài 1 thực ra không phức tạp như bạn nghĩ đâu. Tớ nghĩ ra nó từ bài toán sau (thay x, y,z lung tung):

[TEX]\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}[/TEX]

 

[latata]

pro-pro-pro!!!!!!!!!

Chứng minh với a,b,c > 0

[TEX]\frac{a^{k+1}}{b^k} + \frac{b^{k+1}}{c^k} + \frac{c^{k+1}}{a^k} \geq \frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/TEX]

Mình sẽ giải bài toán trên dùng Cauchy + quy nạp toán hoc:

+ Với k =1 thì BĐT trở thành:

[TEX]\frac{{a^2 }}{b} + \frac{{b^2 }}{c} + \frac{{c^2 }}{a} \ge a + b + c\[/TEX]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có: [TEX]\frac{{a^2 }}{b} + b \ge 2b\[/TEX] ,

tương tự với 2 BĐT còn lại rồi cộng vế với vế ta suy ra đpcm.

+ Giả sử BĐT đúng đến k tức là

[TEX]\frac{a^{k+1}}{b^k} + \frac{b^{k+1}}{c^k} + \frac{c^{k+1}}{a^k} \geq \frac{a^k}{b^{k-1}}+\frac{b^k}{c^{k-1}}+\frac{c^k}{a^{k-1}}[/TEX] (1>-)

Ta cần c/m BĐT cũng đúng với k + 1 tức là

[TEX]\frac{{a^{k + 2} }}{{b^{k + 1} }} + \frac{{b^{k + 2} }}{{c^{k + 1} }} + \frac{{c^{k + 2} }}{{a^{k + 1} }} \ge \frac{{a^{k + 1} }}{{b^k }} + \frac{{b^{k + 1} }}{{c^k }} + \frac{{c^{k + 1} }}{{a^k }}\[/TEX] (2>->-)

Áp dụng Cauchy ta có:

[TEX]\frac{{a^2 }}{{b^2 }} + 1 \ge 2\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{{a^{k + 2} }}{{b^{k + 1} }} + \frac{{a^k }}{{b^{k - 1} }} \ge 2\frac{{a^{k + 1} }}{{b^k }}\[/TEX]

[TEX]\frac{{b^2 }}{{c^2 }} + 1 \ge 2\frac{b}{c} \Rightarrow \frac{{b^{k + 2} }}{{c^{k + 1} }} + \frac{{b^k }}{{c^{k - 1} }} \ge 2\frac{{b^{k + 1} }}{{c^k }}\[/TEX]

[TEX]\frac{{c^2 }}{{a^2 }} + 1 \ge 2\frac{c}{a} \Rightarrow \frac{{c^{k + 2} }}{{a^{k + 1} }} + \frac{{c^k }}{{a^{k - 1} }} \ge 2\frac{{c^{k + 1} }}{{a^k }}\[/TEX]

Cộng vế theo vế các BĐT trên và để ý đến BĐT (1) ta suy ra BĐT (2) đúng.

Vậy BĐT được chứng minh.

>->->->->->->->-

 

[trantrongnhan1]

Thêm bài nữa nè

CM: a,b,c > 0
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1[/TEX]

Cho p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
CMR : [TEX]p^2 \geq 3r^2+12R[/TEX]

 

[latata]

Thêm bài nữa nè

CM: a,b,c > 0
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1[/TEX]

Cho p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
CMR : [TEX]p^2 \geq 3r^2+12R[/TEX]

Hai bài toán trên đã có nguồn gốc rồi, trong toán tuổi thơ 2 dành cho PTCS.


Đó đều là những bài toán thách đấu gần đây nhất

 

[hello115day]

Thêm bài nữa nè

CM: a,b,c > 0
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1[/TEX]

Cho p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
CMR : [TEX]p^2 \geq 3r^2+12R[/TEX]

bài 1 dễ thê để mình làm cho :
\sqrt[n]{A}a^3\frac{a}{b}a^3+(b+c)^3\geq a^2\frac{a}{b}a^2+b^2+c^2
Dễ thấy : (a^2+b^2+c^2)\geq a^4+a.(b+c)^3 cái này mà không CM được thì cứ nói
==>ĐPCM

 

[hello115day]

mà ai ra bài này cho bạn vậy hình như là ông Hói đúng không ??

 

[caubetaihoa]

tôi là bạn cùng lớp của anh Nhân đây tôi biết rõ những bày này từ ở đâu ra!