[Toán 9] Một bài bất đẳng thức hay và khó

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{8(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2} \ge 11$$

 

[huynhbachkhoa23]

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{8(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2} \ge 11$$

Gợi ý:
Chú ý các đẳng thức:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a-b)^2+(a-c)(b-c)$

Bất đẳng thức chuyển về dạng $A(x-y)^2+B(x-z)(y-z) \ge 0$

Ta phải giả sử, đánh giá sao cho $A(x-y)^2,B(x-z)(y-z) \ge 0$ là được.

Để ý là $(x-z)(y-z) \ge 0$ khi $z=min$ hoặc $z=max$ trong $x,y,z$